Назовём натуральное число куним (от названия животного куницы), если среди его делителей есть ровно 3 простых числа.

а) Могут ли 180 подряд идущих натуральных чисел быть куними?

б) Могут ли 150 подряд идущих натуральных чисел быть куними?

задан 2 Май '18 0:55

3

Мне кажется, лучше было бы написать "куньих" вместо "куних" и "идти" вместо "итти"

(2 Май '18 13:19) goldish09
10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Среди 180 последовательных чисел есть 6, делящихся на 30. Они имеют вид 30k, 30(k+1). ... , 30(k+5). Среди чисел k, k+1, ... , k+5 есть три нечётных. Они могут иметь простые делители только 3 или 5. Ясно, что на 3 делится ровно одно из них, а на 5 не более одного, откуда k=1. Но тогда список содержит "постороннее" число 31.

б) Здесь рассуждение похожее. Выбираем числа вида 30k, 30(k+1), ... , 30(k+4). Если среди k, k+1, ... , k+4 есть три нечётных, то рассуждение такое же. Пусть нечётных всего два: это k+1 и k+3. Простые делители там будут 3 или 5, то есть одно число -- степень тройки, а другое -- степень пятёрки. Было бы интересно доказать, что кроме случаев 5-3=2 и 27-25=2 больше ничего не бывает, но это отдельная задача. Но мы будем опираться на то, что k+2 не делится ни на 3, ни на 5, и тогда это степень двойки. Из чисел k, k+4 никакое не делится на 5, и какое-то одно не делится на 3. Значит, это тоже степень двойки, а разность 2 возможна только для случая 2, 3, 4, 5, 6, где среди 150 чисел возникает 61.

Интересно, какая тут оптимальная оценка хотя бы гипотетически?

ссылка

отвечен 3 Май '18 4:41

@falcao, большое спасибо! Насчёт оптимальной оценки, на соседнем форуме пишут, что 90: https://dxdy.ru/topic126708.html

(3 Май '18 11:25) Казвертеночка

@Казвертеночка: там есть только доказательство, что 90 подряд невозможно, но примера с 89 никто не строил. Скорее всего, эта оценка не оптимальна.

(3 Май '18 12:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,199
×811
×177
×112
×2

задан
2 Май '18 0:55

показан
327 раз

обновлен
3 Май '18 12:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru