теория-вероятности - Задача про тест студентов

Мне кажется, полезно запоминать способы решения таких задач, а не решать каждую по отдельности. Давайте сосредоточимся на приёмах, которые надо здесь применять.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда у первых четырёх человек тип характера определён верно, а у последних двоих -- неверно. Тестирование проходит независимо, поэтому вероятности перемножаются. Получается $%0,9^4\cdot0,1^2$%. Но это только один случай, а сколько их всего? Рассмотренный случай можно символически обозначить как $%56$%, где слитно написаны номера двоих студентов с неверно определённым типом. А может быть любая другая пара, то есть $%12$%, $%13$%, ..., $%16$%, $%23$%, $%24$%, ..., $%26$%, ..., $%56$%. Это стандартная вспомогательная задача, и её можно решить как по формуле $%C_6^2=6\cdot5/2=15$%, так и "кустарно", просто подсчитав число пар. В том списке, который был приведён выше, имеется $%5$% пар, начинающихся с $%1$%, затем $%4$% пары, начинающиеся с $%2$%, и так далее -- вплоть до одной пары, начинающейся с $%5$%. Такой подсчёт даёт $%5+4+3+2+1$%, то есть те же $%15$%. Здесь я считаю полезным один или два раза сделать такой подсчёт вручную, чтобы после этого оценить полезность общей формулы, позволяющей то же самое получить быстро и автоматически.

Что здесь в итоге получается? Надо сложить $%15$% одинаковых величин (все рассматриваемые нами события выбора пары "невезучих" равновероятны). Получается $%15\cdot0,9^4\cdot0,1^2$%. А в общем случае получается ответ вида $%C_n^mp^m(1-p)^{n-m}$%, где $%n$% -- общее число тестируемых, $%p$% -- вероятность успешного теста, $%m$% -- (точное) количество успешно протестированных. При этом полезно также помнить, что $%C_n^m=C_n^{n-m}$%: в рассматриваемом случае этому соответствует равенство $%C_6^4=C_6^2$%.