Хочу продолжить дискуссию, начатую здесь. Я обещал высказаться по поводу сказанного @Андрей Юрьевич -- см. его запись по ссылке, в которой выделено десять различных пунктов. Прежде всего, мне очень нравятся первые два пункта. Я считаю обязательной предварительную фиксацию "глобальной совокупности" всех элементов, которые разрешается рассматривать в пределах теории. В зависимости от того, какова будет эта совокупность, могут получаться разные теории, но это как раз хорошо, а не плохо. Для нужд математики нет необходимости рассматривать объекты "материальной" природы, а в "наивной теории множеств" это бывает удобно.

Важно заметить, что описывать до конца и в деталях "глобальную совокупность" совершенно не обязательно. Важно только её зафиксировать, дав ей для удобства некоторое имя. Например, $%E$% от слова "элемент", или $%U$% от слова "универсальный". Детальное описание совершенно не обязательно: например, мы часто рассуждаем о каком-то "неопределённом" объекте, говоря что-то типа "рассмотрим функцию $%f(x)$%" -- не уточняя, какую именно.

Фиксацию совокупности $%E$% я считаю совершенно обязательной. Без неё непонятно, что такое множество. Эта трудность связана не с понятием множества, а с понятием элемента. Что такое множество, мы в принципе хорошо понимаем: слова "набор" или "совокупность" ничуть не менее ясны, чем другие слова естественного языка типа "не" или "равно". Проблема лишь в том, что нигде не прописано, из чего разрешено составлять множества, а из чего нет.

Мы можем считать "множествами" любые наборы объектов -- лишь бы они были "элементами", то есть разрешёнными объектами из совокупности $%E$%. Это своего рода "реабилитация" аксиомы свёртывания, отброшенной по причине обнаружения парадокса Рассела. Но при такой постановке вопроса логического противоречия не возникает. Чтобы продемонстрировать это, воспроизведу всем известное рассуждение.

Рассматриваются все элементы, удовлетворяющие условию $%x\notin x$%. Вообще говоря, разрешено рассматривать объекты какой угодно природы, и здесь можно следовать ограничению, что у нас нет ничего, кроме множеств. То есть элементами множеств могут являться только множества. Такое соглашение, явно или неявно принимаемое во многих известных аксиоматиках, может как приниматься, так и не приниматься. Удобно рассматривать самый общий случай. Тогда высказывание $%x\in x$% понимается так: во-первых, $%x$% есть элемент, то есть он входит в $%E$%; во-вторых, он сам является множеством, то есть состоит из каких-то элементов; в-третьих, он как элемент принадлежит сам себе как множеству. Если не выполнено хотя бы одно из трёх этих условий, то мы считаем истинным высказывание $%x\notin x$%.

Что будет, если мы рассмотрим множество всех элементов $%x$%, обладающих свойством $%x\notin x$%? Это будет множество, так как мы его составляли из элементов, а не из чего-то "запрещённого". Давая этому множеству имя $%a$%, мы задаёмся вопросом, какое из двух высказываний истинно: $%a\in a$% или $%a\notin a$%?

Ответ здесь вполне ясный и определённый, как это ни странно. Первое высказывание верным быть не может, так как оно сразу влечёт логическое противоречие. Если $%a\in a$%, то $%a$% есть элемент, а не что попало. Его мы просматривали на предмет обладания свойством $%x\notin x$%. Поскольку он им не обладает, принадлежа сам себе, то мы его не включали в $%a$%, что противоречит условию $%a\in a$%. Значит, верно второе высказывание: $%a\notin a$%.

Мы привыкли к тому, что оно тоже приводит к противоречию, поэтому полезно понять, что на самом деле отсюда вытекает. Если допустить, что $%a$% есть элемент "глобальной совокупности" $%E$%, то противоречие получается как обычно: этот элемент нами просматривался на предмет обладания свойством $%x\notin x$%, и он этим свойством обладает, за счёт чего он должен быть включён в $%a$%, то есть $%a\in a$%, что является противоречием. Тем самым мы пришли к выводу, что $%a$% всего-навсего не есть элемент. То есть его заведомо не было в той самой "глобальной совокупности", о которой изначально был договор. Разумеется, мы можем пересмотреть соглашение, добавив только что построенный объект $%a$% к "глобальной совокупности", но при этом мы изменим само содержание понятия множества. Именно в этом вся причина. Ясно, что рассмотренное нами рассуждение будет верно для какой угодно совокупности, и это препятствие "фатально". Поэтому с ним надо просто смириться, а весь "ущерб" будет заключаться всего лишь в принятии положения, что не существует и не может существовать одной-единственной "супер-универсальной" теории множеств, которую не будет никаких причин и возможностей расширять.

Возвращаясь к примеру, подытожим его суть: мы пришли к выводу, что $%a$% не может быть элементом; по этой причине высказывание $%a\notin a$% автоматически будет истинно.

Теперь продолжу по поводу пунктов Андрея Юрьевича. В пункте 3 предлагается рассматривать особый пустой элемент. Я думаю, это находится в противоречии со всеми когда-либо предлагавшимися концепциями. Разумеется, автор вправе предложить что-то своё, но при этом надо обосновать преимущества такого подхода. Дело в том, что фактически предлагается пересмотр определения пустого множества. Ведь это множество, которому не принадлежит никакой элемент или "объект". Сказать, что ему всё-таки принадлежит "ничто", означает отказ от пустого множества как такового. Ясно, что он возможен, но при этом получится "теория непустых множеств". Она эквивалентна обычной теории множеств, но обладает целым рядом неудобств.

Я всё-таки предлагаю чётко различать два положения на чисто логическом уровне. Одно дело, когда множеству ничего не принадлежит. То есть ни про какой элемент $%x$% нельзя сказать, что $%x\in\emptyset$%. Другое дело -- объявить, что этому множеству принадлежит "ничего" -- что бы мы ни понимали под этим. Здесь получается игра слов, и не более того. Это совсем разные по смыслу вещи.

По остальным пунктам выскажусь коротко. В принципе, я поддерживаю ту идею, что в каких-то версиях построения теорий (именно так, во множественном числе!) можно брать в качестве "базовых" элементов что угодно: например, свойства (понимаемые "абстрактно"), или какие-то имена объектов. Последних может быть много для именования одной и той же "сущности", как это обычно и случается в реальной практике. Конечно, нужно всегда различать "означаемое" и "означающее", как это принято в семиотике. Отождествление свойств с соответствующими множествами (состоящими из всех элементов, обладающих данным свойством) я также не считаю обязательным. Однако здесь должно быть задано некое соответствие. Как именно его лучше осуществить -- это отдельный вопрос.

То же самое я бы отнёс и на счёт функций (а также правил, действий и прочего). Ведь функции представляют собой некие отдельные "сущности", и замена функций в этом понимании слова на их графики (множества упорядоченных пар) также есть акт необязательный, хотя он в принципе довольно удобен. Не лишне сказать и о самом понятии упорядоченной пары, которую также можно отождествлять, а можно не отождествлять с теоретико-множественной конструкцией. Определения по Куратовскому или по Винеру суть не более чем "кодирования".

Идея о том, что множества следует рассматривать только как совокупности элементов, обладающих определённым свойством, мне не кажется удачной. Это ограничение ничем как следует не мотивировано. Не говоря о том, что по имеющемуся множеству всегда можно подобрать искусственное свойство. Такого рода подход если и имеет смысл, то лишь в рамках конкретно описанного языка, позволяющего задавать конкретные свойства.

Попытку привлечь сюда нечёткие множества я совершенно не приветствую. На мой взгляд, эта теория реализуется в терминах теории обычных, то есть "чётких" множеств. (Об этом верно сказала @DocentI в одном из комментариев.) Кроме всего прочего, тут нет никакого преимущества, потому что рассуждать о "нечётких" понятиях эта теория всё равно никак не помогает. Мы же всё равно не знаем в реальных "нечётких" ситуациях того действительного числа, которое определяет степень принадлежности элемента "нечёткому" множеству.

Я также рад был бы выслушать соображения коллег по поводу написанного, поэтому приглашаю к обсуждению всех, кто в этом заинтересован.

задан 6 Апр '13 0:42

изменен 6 Апр '13 0:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Уважаемый @falcao, спасибо за столь подробную и интересную рецензию. Но мне хотелось бы подчеркнуть несколько моментов.

1) Под глобальной совокупностью я все-таки понимаю "все что известно на данный момент" - всю информационную массу, разделенную на элементы - качественно определенные объекты. Эта совокупность может пополняться, но в любой момент она фиксирована. Поэтому, речь идет не о совокупности теорий, а только об одной - о математике.

2) При описанном подходе понятие "множество" становится определяемым. Это важно, т.к. множество становится не существующим априори, а конструируемым объектом, а в этом случае необходимо четко задать правило конструирования (т.е. дать определение).

3) Множество может быть составлено не из любых элементов, а только из обладающих именем и/или свойством. Но поскольку любые имена и свойства - это элементы глобальной совокупности, то для того, чтобы стать элементом какого-либо множества, любой элемент глобальной совокупности должен быть "предварительно обработан" присвоением ему имени и/или свойств, т.е. установлением некоторого соответствия.

4) Пустое множество. Если его отождествлять с нулем, то оно все-таки должно быть определено как отдельная сущность.

5) Нечеткие множества. Конечно, ничего нового в их свойствах не появляется, но они включаются в аксиоматику, что, на мой взгляд, важно, т.к. нечеткие множества ничуть не менее фундаментальны, чем четкие.

6) Никаким результатам ни в каких разделах математики сформулированный подход, как мне кажется, не противоречит. Если же противоречия обнаружатся - это и будет указанием на ошибку в предлагаемой аксиоматике.

Дополнение 1 (ответ на комментарии). Уважаемый @falcao, прошу меня простить за задержку с ответами - цейтнот, катастрофически не хватает времени.

В связи с Вашими замечаниями хотелось бы отметить следующее.

Во-первых, глобальная совокупность - это не множество, это "резервуар", из которого черпаются объекты для построения любых теорий.
Все, что мы можем увидеть, почувствовать, представить, вообразить, назвать - вообще все -это элементы глобальной совокупности. И, вообразив какой-то совершенно новый объект, мы, тем самым, пополняем глобальную совокупность. Т.е. элемент глобальной совокупности - это любой объект, который хоть раз где-то как-то возник - пусть даже только в чьем-то сознании. Все, с чем мы можем как-то иметь дело - это элементы глобальной совокупности. "Неэлементы" - это просто "нон-сенсы" - нечто недоступное (возможно, пока) нашему сознанию.
В этой связи постоянное пополнение глобальной совокупности не приводит ни к каким трудностям и противоречиям, потому что каждая конкретная математическая теория использует только часть глобальной совокупности, изменение совокупности за пределами этой части никак на такую теорию не влияет.Причем, для "запуска" каждой конкретной аксиоматической теории требуется вообще минимум - несколько базовых объектов и несколько логических правил (это тоже элементы глобальной совокупности). Далее аксиомы строятся с помощью этих базовых объектов и тоже становятся элементы глобальной совокупности. Все остальные элементы теории строятся, становясь при этом элементами глобальной совокупности (если их там пока нет).
С несчетными множествами никаких проблем не возникает. Например, множество действительных чисел есть? Есть. Значит это элемент глобальной совокупности. И каждый его элемент (каждое действительное число) - это тоже элемент глобальной совокупности. И их названия "один", "два" это тоже элементы глобальной совокупности также как и "one", "two", и правила конструирования этих названий - тоже, и все операции и т.д.
Постоянная "пополняемость" глобальной совокупности - это не что иное, как фактор развития математики (и вообще, знания).

Во-вторых, как я уже сказал, из того что множество становится конструируемым объектом следует, что правила этого конструирования должны быть определены. Например, я хочу составить множество из чисел 2, 3, 8,11 (заметим, что до возникновения у меня этого желания такого множества в глобальной совокупности не было, если кто-то его не построил раньше). Что я должен сделать? Я должен объявить, что отныне к свойствам этих чисел добавляется еще одно - они становятся элементами нового множества. Это и будет наделением этих чисел новым свойством. Я могу дать новому множеству имя (например, A), могу не давать имени, просто сказать "Да будет отныне новое множество", но совсем избежать подобного действия не удастся. В традиционном подходе, когда любое множество считается существующим априори, такой необходимости возникает, но зато возникают традиционные парадоксы теории множеств. Таким образом, пункт об общем имени/свойстве является в сформулированном подходе неизбежным.

В третьих, если мы сформулировали алгоритм формирования множества через общее имя/свойство, то определение нуля (пустого множества) как особого элемента глобальной совокупности становится неизбежным, т.к. сконструировать пустое множество по этому алгоритму невозможно.

Ну и, наконец, по поводу нечетких множеств. Да в точных науках типа физики, особой необходимости в них нет. Но чем больше математика проникает в социально-экономический блок, тем интенсивнее они используются. Например, я как-то слушал очень интересный доклад про формирование нечеткого множества "Надежный клиент банка". Аналогичные нечеткие множества - "Активный покупатель", "Эффективный работник" и т.п.
Я понимаю, Вы хотите сказать, что можно здесь обойтись и без нечетких множеств. Можно. Но мне это напоминает дискуссию 30-летней давности на заре возникновения структурного программирования. Старые маститые фортран-программисты говорили тогда "Какие структуры данных? Зачем все эти навороты? Я и так все, что угодно запрограммирую с помощью одних только массивов".

Дополнение 2 (ответ на комментарии). Уважаемый @falcao, отвечаю на Ваши комментарии.

По поводу пустого множества. Я ничего не имею против интерпретации его как "пустого мешка". Я только отметил, что если мы считаем, что все множества должны конструироваться через имя/свойство, то существование такого "пустого мешка" должно быть постулировано. Но вообще-то, в предлагаемом подходе модель "мешка" меняется на модель "бирок": множество составляют не элементы, находящиеся в одном мешке, а элементы, имеющие одинаковую бирку.

По поводу парадокса Рассела. В сформулированном мной подходе он не возникает. Заметим, во-первых, что вообще невозможно построить множество из всех элементов глобальной совокупности, потому что из него заведомо выпадут "базовые элементы", не обладающие именем и/или свойствами, например, "чистые точки" - те, которые мы еще не назвали точками. Во-вторых, даже если бы это было возможно, это бы просто означало, что глобальная совокупность пополнилась новым элементом, который, естественно, себя не включает, т.к. в момент своего создания его в глобальной совокупности еще не было.

По поводу континуума и второго парадокса Рассела о "немыслимых" числах. Я, пожалуй, откорректирую свое утверждение о том, что в глобальную совокупность входит и само множество R, и все его элементы по отдельности. Множество R туда, безусловно, входит, а вот его элементы по отдельности - далеко не все, а только "мыслимые" - те, о которых кто-то когда-то уже думал. Для того, чтобы разрешить этот парадокс, по-моему, достаточно понять, что стоит за фразой "мы определили множество R"? Означает она следующее: мы дали множеству имя, определили явно несколько его элементов, сформулировали правила для получения новых элементов и задали правило распознавания - может ли любой произвольно выбранный элемент глобальной совокупности рассматриваться как элемент множества R? Этими действиями, собственно, и исчерпывается задание континуума. Т.е. нужно разделять действия "включить множество в глобальную совокупность" и "включить ВСЕ элементы множества в глобальную совокупность". Да, включение множества в глобальную совокупность дает каждому его элементу право попасть туда же. Но это право еще нужно реализовать! Это еще раз подчеркивает отличие глобальной совокупности от множества.

По поводу нечетких множеств. Конечно, использование их банками не является основанием для включения в аксиоматику, даже если банки готовы за это заплатить. Соображения о включении нечетких множеств в аксиоматику были у меня совсем другими. Мне кажется, что традиционное определение нечетких множеств содержит некоторое внутреннее противоречие. Дело в том, что понятие принадлежности является одним из основных базовых понятий теории и поэтому должно быть включено в аксиоматику. Конечно, на любом множестве мы можем определить любую функцию и построить новое множество из пар (элемент + значение функции). Все хорошо до тех пор, пока эта функция не интерпретируется как "функция принадлежности", потому что, еще раз повторяю, принадлежность - это базовое понятие теории. Подобная интерпретация нарушает логическую иерархию. В этом случае нужно либо вообще о принадлежности не говорить, упразднив, тем самым, понятие нечеткого множества, либо наоборот, как я предложил, рассматривать "четкую принадлежность" как частный случай общей "нечеткой принадлежности", тем более что в сформулированном подходе это получается просто и естественно.

ссылка

отвечен 6 Апр '13 21:44

изменен 10 Апр '13 23:32

Ввиду того, что "данный момент" всё время меняется, будет меняться и содержание понятия "множество". А это значит, что "единой теории" так или иначе не будет -- мне важен именно этот тезис. Её ведь надеялись построить. Что касается правил конструирования, то здесь я вижу трудности не в противоречиях, а скорее в недостаточности. Укладывается ли вся известная нам математическая практика в это русло? Не получается ли, что мы ограничиваем себя только счётным запасом множеств -- по количеству символьных имён? Во что превращается при этом континуум? И так далее. (Продолжу ниже.)

(6 Апр '13 22:51) falcao

Вопрос о пустом множестве не имеет отношения к вопросу о том, что считать нулём. Важно то, как оно определяется. Так или иначе, с введение "ничто" в качестве "объекта" я в принципе не могу согласиться. Преимуществ нечётких множеств в том виде, как они вводятся, я не знаю. Также я не думаю, что они играют фундаментальную роль. Да, мы часто рассуждаем в рамках эвристики в каких-то "размытых" терминах типа "много - мало", ср. также "парадокс кучи". Но теория нечётких множеств никак не помогает работать с такими вещами! Если Вам известны примеры удачного применения, я был бы рад их увидеть.

(6 Апр '13 22:54) falcao

@Андрей Юрьевич: тут не очень удобно комментировать из-за ограничений, поэтому я буду писать с последующим продолжением. Прежде всего, давайте окончательно проясним природу пустого множества. Оно не есть "ничто" -- это всего лишь запись вида $%\{\}$%, в наглядном представлении. То есть это вполне "материальный" объект -- наподобие пустого мешка. Внутри него ничего нет, но сам он не есть "ничто". У любого множества имеется "оболочка", пусть и воображаемая. Она нужна для собрания элементов в единое целое: это отражает идею Кантора.

(10 Апр '13 1:58) falcao

(продолжаю) Я так понял, что Ваша идея "глобальной совокупности" отличается от того, что я описал. То есть мы имели в виду разные вещи. В том подходе, который у меня был изложен, парадокс Рассела не возникает. Я вообще считаю, что он представляет собой чистое недоразумение, вызванное недостатком опыта при работе с такими "непривычными" объектами как множества. Но при корректной работе с понятиями он и не может возникнуть -- если зафиксировать "локальный" смысл понятия множества. А "глобального" быть и не может: именно в этом "урок" данного парадокса.

(10 Апр '13 2:01) falcao

Далее, я так понимаю, что Ваша "глобальная совокупность" включает в себя те объекты, с которыми мы имеем дело в процессе занятий математикой. Ничего не имею против: как "описательное" понятие оно имеет вполне ясный смысл. Здесь, правда, напрашивается аналогия с другим рассуждением Рассела насчёт числа, о котором никто не думал. Из общих соображений ясно, что такие числа существуют (из-за конечности человеческого опыта), но явное построение такого числа невозможно, так как это тут же приводит к противоречию с его главным свойством. Но это как бы побочное замечание.

(10 Апр '13 2:04) falcao

Насчёт континуума: здесь я вижу очень большую проблему. Вы говорите, что он "существует". Я это понимаю так, что множество $%{\mathbb R}$% задано и описано. В какой-то мере это так. Но насколько полно его описывает теория множеств? Напомню два факта: существование счётной модели (парадокс Сколема) и невозможность доказать или опровергнуть континуум-гипотезу в рамках оычной теории множеств. Это наводит на мысль, что наши аксиомы как следует не описывают континуум. При этом он как бы "существует", но не как единственная конструкция. Это как с евклидовой и неевклидовой плоскостью.

(10 Апр '13 2:08) falcao

О нечётких множествах: это обычная математическая конструкция типа отображений в отрезок $%[0;1]$% из каких-то множеств. В ней я в упор не вижу ничего фундаментального. Почему именно они должны участвовать в аксиоматике? То, что они применяются где-то, ничего не значит, так как применяется всё. Есть столько же оснований поставить в особое положение синусы и косинусы. Ясно, что банк может своим клиентам присваивать рейтинг надёжности, но сами приницпы тут основаны на эмпирике, и аксиомы никак не подскажут, какая система рейтингов тут лучше отражает реальное положение дел.

(10 Апр '13 2:11) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×377
×4

задан
6 Апр '13 0:42

показан
2697 раз

обновлен
16 Май '16 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru