Верно ли, что для всех целых чисел n>1 выполняется неравенство 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(n^2-1) + 1/(n^2) > 1

задан 6 Май 18:02

10|600 символов нужно символов осталось
3

По-моему, эта задача когда-то уже была, но ссылку я не помню.

Положим $%a_n=\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n^2}$%. Ясно, что $%a_1=1$%. Сравним два соседних члена. Легко видеть, что $%a_{n+1}-a_n=(\frac1{n^2+1}+\cdots+\frac1{(n+1)^2})-\frac1n$%. При $%n=1$% эта величина равна $%\frac12+\frac13+\frac14-1=\frac1{12} > 0$%. При $%n\ge2$% все члены суммы в скобках оцениваем снизу последним из них, получая $%a_{n+1}-a_n > \frac{2n+1}{(n+1)^2}-\frac1n=\frac{n^2-n-1}{n(n+1)^2} > 0$%. Отсюда следует, что последовательность $%a_n$% строго монотонно возрастает, и при $%n > 1$% имеет место неравенство $%a_n > a_1=1$%.

Вообще, при помощи интегральных сумм здесь можно показать, что $%a_n$% растёт примерно как $%\ln n$%.

ссылка

отвечен 6 Май 19:35

10|600 символов нужно символов осталось
2

Верно. Доказательство приведу основанное на определении интеграла Римана (а можно по школьному через площади). Функция $%f(x)= \frac{1}{1+x}$% убывающая, а поэтому, если отрезок [0;1] разбить на $%n$% равных отрезков и найти значения функции на левых коньцах этих отрезков, то получим, что $$\left( \frac{1}{1+\frac{0}{n}}+\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+...+\frac{1}{1+\frac{n-1}{n}} \right) \frac{1}{n} > \int \limits_0^1 \frac{dx}{1+x}= \ln 2$$ Таким образом $%\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1} >\ln 2$% . Заменив $%n$% на $%2n$%, получим $%\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+...+\frac{1}{4n-1} >\ln 2$% . Сума двух последних неравенств дает $%\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{4n-1} >\ln 4>1$% . Следовательно, если $%n \ge 4$% , то $%n^2 > 4n-1$% и тогда выполняется неравенство из условия задачи. Вручную проверяется при n=2, n=3.

ссылка

отвечен 6 Май 19:42

изменен 6 Май 19:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020

задан
6 Май 18:02

показан
117 раз

обновлен
6 Май 19:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru