Найти вычеты во всех особых точках функции $$f(z)=\frac {e^{1/(z+1)}}{z+2}$$ С чего надо начинать, когда нужно найти вычеты? По идее, сначала надо найти все особые точки, а потом вычеты в них. Как искать вычеты? Когда надо раскладывать в ряд Лорана? И как это сделать?

задан 6 Май 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Особые точки здесь бросаются в глаза -- это нули знаменателей. При z=-1 знаменатель стремится к 1, а в числителе получается exp от бесконечности. Это существенно особая точка. Здесь удобнее всего рассмотреть разложение в ряд Лорана в проколотой окрестности. Получается exp(1/(z+1))=1+1/(z+1)+..., и сразу видно, что вычет равен 1. Знаменатель, предел которого равен 1, на это значение не влияет.

Точка z=-2 является полюсом первого порядка. Здесь проще всего умножить функцию на z+2 и перейти к пределу при z->-2. Получится e^{-1}. Находить вычет по определению, пользуясь рядом Лорана, здесь нет необходимости. Понятно, что e^{1/(z+1)} аналитична в точке z=-2, поэтому она раскладывается в ряд по степеням z+2. При этом получается a+b(z+2)+c(z+2)^2+... . После деления на знаменатель z+2 предсказуемо получается a/(z+2)+b+c(z+2)+..., где вычет равен a, то есть это значение числителя в нуле. Поэтому здесь достаточно подставить z=-2 в выражение в числителе, что и было сделано.

Для кратных полюсов процедура описывается в учебнике. Обычно нахождение вычета проще, чем знание ряда Лорана в целом. Но бывают и исключения, когда ряд Лорана указывается сразу. Например, для функции типа (z^3-2z^2+3z+5)/z^2 после почленного деления сразу возникает ряд Лорана (с конечным числом ненулевых членов), и коэффициент при 1/z там равен 3.

ссылка

отвечен 6 Май 19:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×313
×101

задан
6 Май 18:38

показан
60 раз

обновлен
6 Май 19:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru