теория-вероятности - Обзорная лекция

Пусть $%X$% -- случайная величина, равная числу студентов, пришедших на лекцию. Она равна сумме $%n=100$% независимых одинаково распределённых случайных величин, каждая из которых принимает значение $%1$% с вероятностью $%p=0,7$% (студент пришёл) и значение $%0$% с вероятностью $%q=1-p=0,3$% (студент не пришёл).

Используем центральную предельную теорему, согласно которой, при больших значениях $%n$% случайную величину $%Y=(X-MX)/\sqrt{DX}$% можно приближённо считать нормально распределённой с параметрами $%0$% и $%1$%. Согласно стандартным формулам, $%MX=np=70$%, $%DX=npq=21$%. Нас интересует вероятность события $%X > 50$%, что равносильно условию $%X-MX > -20$%, то есть $%Y > -20/\sqrt{21}$%. Вероятность этого события находим, интегрируя функцию плотности нормального распределения: $$P\{Y > -20/\sqrt{21}\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-20/\sqrt{21}}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx\approx0,9999936245,$$ то есть эта вероятность практически равна единице.