Здравствуйте! Пусть $%x_1, ..., x_n$% - последовательность векторов в $%R^n$%, причем $%x_{k+1} = Ax_k + f$%, где $%f \in R^n$%, $%A$% - линейный оператор в $%R^n$%. Нужно доказать, что если все собственные числа оператора $%A$% равны нулю, то итерационный процесс $%\{x_k\}$% за конечное число шагов сойдется к решению уравнения $%x = Ax + f$%.

задан 8 Май 14:57

изменен 8 Май 14:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если все собственные числа равны нулю, то характеристический многочлен матрицы равен $%t^n$%, и тогда $%A^n=0$% по теореме Гамильтона - Кэли. Отсюда следует, что матрица $%E-A$% обратима, и обратная имеет вид $%E+A+\cdots+A^{n-1}$%, так как произведение равно $%E-A^n=E$%. Поэтому уравнение $%x=Ax+f$% имеет единственное решение $%x=(E-A)^{-1}f=(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})f$%.

Если начать итерационный процесс с $%x_1$%, то далее мы получим $%x_2=Ax_1+f$%, $%x_3=Ax_2+f=A^2x_1+Af+f$%, и далее по индукции $%x_{k+1}=A^kx_1+(E+A+\cdots+A^{k-1})f$%. При $%k=n+1$% получится решение уравнения, на котором итерационный процесс стабилизируется.

ссылка

отвечен 8 Май 16:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,765
×326
×86
×29

задан
8 Май 14:57

показан
95 раз

обновлен
8 Май 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru