Найти все простые $%p$%, при которых уравнение $$p^k=m^3+n^3$$ Имеет хотя бы одно решение в натуральных числах.

задан 10 Май '18 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь можно дать полное описание всех решений. Ясно, что если для данного $%p$% подходят $%m$% и $%n$%, то подходят и $%pm$%, $%pn$%. То же верно и в обратную сторону, поэтому будет считать, что $%m$% и $%n$% не делятся на $%p$% (ни одно из них).

Из того, что $%m^3+n^3=(m+n)((m+n)^2-3mn)$%, следует, что оба сомножителя -- степени $%p$%. Первый из них больше 1, и он делится на $%p$%. Если второй не делится, то он равен 1, а это значит, что $%m^3+n^3=m+n$%, откуда $%m=n=1$%, $%p=2$%. На этом пути возникают решения вида $%m=n=2^d$%, $%k=3d+1$%.

Пусть оба сомножителя делятся на $%p$%. Тогда $%3mn$% делится на $%p$%, и $%p=3$%. Уже отсюда следует ответ на вопрос из условия (пример $%2^3+1^3=3^2$% для данного $%p$% существует). Из того, что $%(m+n)^2$% делится на 9, а $%mn$% не делится на 3, следует, что второй сомножитель равен 3. Из $%m^3-3m+n^3-3n=0$% следует, что одно из чисел $%m$%, $%n$% равно 1, а другое равно 2. Тем самым, все решения здесь будут иметь вид $%2\cdot3^d$%, $%3^d$% для $%p=3$%, $%k=d+2$%.

ссылка

отвечен 10 Май '18 2:13

@falcao, большое спасибо!

(10 Май '18 9:43) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если уравнение имеет решение, то оно имеет решение при взаимно простых m и n (это следует из того, что их НОД является степенью p и на него можно сократить обе части уравнения). Если НОД(m,n)=1, то НОД(mn, m+n)=1. Но m^2-mn+m^2=(m+n)^2-3mn. Тогда либо НОД(m^2-mn+m^2, m+n)=1 либо НОД(m^2-mn+m^2, m+n)=3. 1) Пусть НОД(m^2-mn+m^2, m+n)=1. При этом p^k=(m^2-mn+m^2)(m+n) . Но m+n>1 . Тогда m+n=p^k, m^2-mn+m^2=1, откуда (m-n)^2+mn=1, откуда m=n=1. Тогда p=2. И 2^1=1^3+1^3 2) Пусть НОД(m^2-mn+m^2, m+n)=3. При этом p^k=(m^2-mn+m^2)(m+n). Тогда p=3. И 3^2=1^3+2^3. Ответ: 2, 3.

ссылка

отвечен 10 Май '18 1:20

@Witold2357, большое спасибо!

(10 Май '18 9:43) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,336
×405
×149
×54
×20

задан
10 Май '18 0:02

показан
360 раз

обновлен
10 Май '18 9:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru