|
dx/(x*корень из (1+x^2)) от 1/2 до бесконечности задан 6 Апр '13 10:28 
Badgal Mari |
|
$$\int_{1/2}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}=[x=tgt;dx=\frac{dt}{cos^2t}]=\int_{arctg\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{sint}=\int_{arctg\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sindt}{1-cos^2t}=$$$$=\frac{1}{2}ln|\frac{cost-1}{cost+1}|\mid_{arctg\frac{1}{2}}^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}ln|\frac{cos(arctg\frac{1}{2})+1}{cos(arctg\frac{1}{2}-1)}|=\frac{1}{2}ln\frac{{\sqrt{5}+2}}{\sqrt{5}-2}=ln(\sqrt{5}+2).$$ отвечен 6 Апр '13 11:14 
Anatoliy |
|
Здесь можно также применить замену $%y=\sqrt{1+x^2}$%, после чего возникает интеграл несложного вида от рациональной функции: $$\int\limits_{\sqrt{5}/2}^{\infty}\frac{dy}{y^2-1}.$$ отвечен 6 Апр '13 13:34 
falcao Этот спосб лучше, особенно для тех, кто не дружит с тригонометрией!
(6 Апр '13 14:16)
DocentI
|