dx/(x*корень из (1+x^2)) от 1/2 до бесконечности

задан 6 Апр '13 10:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\int_{1/2}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}=[x=tgt;dx=\frac{dt}{cos^2t}]=\int_{arctg\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{sint}=\int_{arctg\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sindt}{1-cos^2t}=$$$$=\frac{1}{2}ln|\frac{cost-1}{cost+1}|\mid_{arctg\frac{1}{2}}^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}ln|\frac{cos(arctg\frac{1}{2})+1}{cos(arctg\frac{1}{2}-1)}|=\frac{1}{2}ln\frac{{\sqrt{5}+2}}{\sqrt{5}-2}=ln(\sqrt{5}+2).$$

ссылка

отвечен 6 Апр '13 11:14

изменен 6 Апр '13 14:15

DocentI's gravatar image


9.8k937

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно также применить замену $%y=\sqrt{1+x^2}$%, после чего возникает интеграл несложного вида от рациональной функции: $$\int\limits_{\sqrt{5}/2}^{\infty}\frac{dy}{y^2-1}.$$

ссылка

отвечен 6 Апр '13 13:34

Этот спосб лучше, особенно для тех, кто не дружит с тригонометрией!

(6 Апр '13 14:16) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×875

задан
6 Апр '13 10:28

показан
740 раз

обновлен
6 Апр '13 14:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru