теория-множеств - Сюрьективность.

Желательно формулировать условие более чётко -- во избежании разночтений. В частности, надо уточнить порядок выполнения действий $%f$% и $%f^{-1}$%. Это зависит от принимаемого соглашения, которое бывает разным в разных учебных курсах. Я предпочитаю записывать композицию слева направо, то есть здесь сначала применяется $%f$%, а потом $%f^{-1}$%. Но иногда договариваются наоборот -- особенно если речь о композиции двух функций.

Я начну с уточнения формулировки (сама задача здесь очень простая: всё сразу следует из определений). Дано бинарное соответствие $%f$% на паре множеств $%A$%, $%B$%, то есть $%f\subseteq A\times B$%. Известно, что $%f$% всюду определено, то есть для любого $%a\in A$% существует $%b\in B$% такой, что $%(a,b)\in f$%. Последнее условие также принято записывать в виде $%a\mathrel{f}b$% -- как для случая бинарных отношений.

Допустим, что $%f$% сюръективно (обычно так говорят о функциях, но вообще-то можно распространить на любые соответствия). Это значит, что для любого $%b\in B$% существует $%a\in A$% такое, что $%(a,b)\in f$%. Легко показать, что произведение (композиция) соответствий $%f\circ f^{-1}$%, где $%f$% идёт первым, будет всюду определённым соответствием на паре множеств $%A$%, $%A$%, причём даже в случае, когда $%f$% не сюръективно. Исходя из этого я могу предположить, что в принятой у Вас в курсе системе соглашений предполагается, что сначала действует $%f^{-1}$%. Тогда у любого элемента $%b\in B$% есть хотя бы прообраз в $%A$% относительно $%f$%, а у этого прообраза есть образ относительно $%f$%, так как $%f$% всюду определено. Это доказывает, что при выполнении действий $%ff^{-1}$% справа налево, получается соответствие, всюду определённое на множестве $%B$%.

Сюръективность в этом случае существенна, и примером может служить любое несюръективное отображение. Тогда на элементе, не попавшем в образ этого отображения, указанное соответствие $%ff^{-1}$% определено не будет: к нему нельзя применить $%f^{-1}$%.

Конкретный пример можно взять из области конечных множеств -- скажем, $%A=\{1\}$%, $%B=\{2,3\}$%, $%f(1)=2$%. Отображение не сюръективно, так как $%3$% не имеет прообраза. Можно на примере функций: $%f(x)=x^2$% как отображение из $%{\mathbb R}$% в $%{\mathbb R}$% не принимает отрицательных значений, то есть не сюръективно. В обоих случаях $%ff^{-1}$% не будет всюду определённым, если действия выполнять справа налево.