(A x B) and (C x D) = (A or C) x (B and D), где x - прямое произведение множеств,and - пересечение множеств, or - сложение множеств

задан 6 Апр '13 11:09

изменен 11 Мар '14 21:31

Deleted's gravatar image


126

В таком виде - нет! Объединение замените на пересечение

(6 Апр '13 14:03) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D).$$

$$1)x=(m,n)\in(A\times B)\cap (C\times D)\Rightarrow m\in A\cap C;n\in B\cap D\Rightarrow $$$$x=(m,n)\in (A\cap C)\times (B\cap D).$$

$$2)x=(m,n)\in(A\cap C)\times (B\cap D)\Rightarrow m\in A\cap C,n\in B\cap D\Rightarrow $$$$x=(m,n)\in(A\times B)\cap (C\times D). $$

Из $%1)$% и $%2)\Rightarrow (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D).$%

ссылка

отвечен 6 Апр '13 11:36

изменен 6 Апр '13 13:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Условие задачи сформулировано в таком виде: всегда ли верно, что $$(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cup C) \times (B \cap D)?$$

Под "сложением", как я понял, понимается объединение множеств (лучше использовать такой термин).

Здесь уже был разобран случай, который получается, если объединение заменить на пересечение. Такое равенство всегда верно. А в том виде, как оно сформулировано в условии, в общем случае имеет место лишь включение $%\subseteq$%, а равенства может и не быть.

Приведём пример. Положим $%A=\{x\}$%, $%C=\{y\}$%, $%B=D=\{z\}$%, где элементы $%x,y,z$% попарно различны. Тогда $%A\times B=\{(x,z)\}$%, $%C\times D=\{(y,z)\}$%, и пересечение этих двух множеств будет пустым. В правой же части стоит множество $%(A \cup C) \times (B \cap D)=\{(x,z),(y,z)\}$% из двух элементов, то есть непустое, и равенства не наблюдается.

ссылка

отвечен 6 Апр '13 13:31

Не буду менять. Доказывал равенство, поэтому заменил пересечение на объединение(посчитал, что опечатка в условии). Если же все так как в условии, то следует принять Ваш ответ. Спасибо.

(6 Апр '13 13:55) Anatoliy
1

@Anatoliy: а менять и не надо, потому что в таком виде, как Вы написали, упражнение выглядит более естественно. Автору вопроса, скорее всего, полезно было прочитать это доказательство. А придумывать контрпримеры к заведомо неверным утверждениям -- это вещь, на мой взгляд, не слишком полезная.

(6 Апр '13 14:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×162

задан
6 Апр '13 11:09

показан
1660 раз

обновлен
9 Мар '14 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru