|
(A x B) and (C x D) = (A or C) x (B and D), где x - прямое произведение множеств,and - пересечение множеств, or - сложение множеств задан 6 Апр '13 11:09 
Sergey33 |
|
$$(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D).$$ $$1)x=(m,n)\in(A\times B)\cap (C\times D)\Rightarrow m\in A\cap C;n\in B\cap D\Rightarrow $$$$x=(m,n)\in (A\cap C)\times (B\cap D).$$ $$2)x=(m,n)\in(A\cap C)\times (B\cap D)\Rightarrow m\in A\cap C,n\in B\cap D\Rightarrow $$$$x=(m,n)\in(A\times B)\cap (C\times D). $$ Из $%1)$% и $%2)\Rightarrow (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D).$% отвечен 6 Апр '13 11:36 
Anatoliy |
|
Условие задачи сформулировано в таком виде: всегда ли верно, что $$(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cup C) \times (B \cap D)?$$ Под "сложением", как я понял, понимается объединение множеств (лучше использовать такой термин). Здесь уже был разобран случай, который получается, если объединение заменить на пересечение. Такое равенство всегда верно. А в том виде, как оно сформулировано в условии, в общем случае имеет место лишь включение $%\subseteq$%, а равенства может и не быть. Приведём пример. Положим $%A=\{x\}$%, $%C=\{y\}$%, $%B=D=\{z\}$%, где элементы $%x,y,z$% попарно различны. Тогда $%A\times B=\{(x,z)\}$%, $%C\times D=\{(y,z)\}$%, и пересечение этих двух множеств будет пустым. В правой же части стоит множество $%(A \cup C) \times (B \cap D)=\{(x,z),(y,z)\}$% из двух элементов, то есть непустое, и равенства не наблюдается. отвечен 6 Апр '13 13:31 
falcao Не буду менять. Доказывал равенство, поэтому заменил пересечение на объединение(посчитал, что опечатка в условии). Если же все так как в условии, то следует принять Ваш ответ. Спасибо.
(6 Апр '13 13:55)
Anatoliy
1
@Anatoliy: а менять и не надо, потому что в таком виде, как Вы написали, упражнение выглядит более естественно. Автору вопроса, скорее всего, полезно было прочитать это доказательство. А придумывать контрпримеры к заведомо неверным утверждениям -- это вещь, на мой взгляд, не слишком полезная.
(6 Апр '13 14:01)
falcao
|
В таком виде - нет! Объединение замените на пересечение