Доказать, что для линейного оператора $%\mathcal{A}$% в $%n-$%мерном пространстве множество операторов $%\mathcal{X}$% таких, что $%\mathcal{AX}=0$% , является векторным пространством, и найти его размерность.

Вроде бы, удалось доказать, что это векторное пространство, но не понятно, как найти размерность

задан 11 Май 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

То, что множество матриц {X|AX=0} является подпространством, прямо следует из известного критерия для подпространств. Подмножество пространства всех nxn-матриц здесь непусто, замкнуто относительно сложения, и относительно умножения на скаляры.

Что касается размерности, то матрица X удовлетворяет условию AX=0 тогда и только тогда, когда этому условию удовлетворяет каждый столбец этой матрицы. Обозначая элементы столбца через x(1),...,x(n), мы получаем однородную систему с матрицей A. Известно, что пространство решений такой системы имеет размерность n-r, где r есть ранг матрицы A (так как r есть число главных неизвестных, а n-r -- число свободных). Тогда матрица X принадлежит прямой сумме n одинаковых пространств, каждое имеет размерность n-r. Итоговая размерность равна n(n-r).

ссылка

отвечен 12 Май 2:42

Благодарю, всё понял

(12 Май 13:26) Aniorp
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,486
×228
×24

задан
11 Май 18:59

показан
47 раз

обновлен
12 Май 13:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru