Здравствуйте, нужно исследовать это ряд на сходимость. К сожалению, совсем не знаю как сделать, так как по Лейбницу не льзя, потому что в точке x=1+7^(1/2) производная функции под модулем меняет знак! $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\left(-1\right)^nn}{\left(n+1\right)\sqrt[3]{n+2}}$$ Надеюсь на вашу поддержку и помощь!

задан 11 Май 22:16

изменен 11 Май 22:20

Надеюсь на вашу поддержку - держим за Вас кулачки... )))

потому что в точке x=1+7^(1/2) производная функции под модулем - про какой модуль речь?...

любое конечное число начальных членов ряда не влияют на сходимость...

(11 Май 23:37) all_exist

@tikol2006: для применения признака Лейбница достаточно, чтобы последовательность монотонно убывала, начиная с некоторого члена. Здесь Вы заменяете n на x, находите производную, и убеждаетесь в том, что она отрицательна при x>=x0. Этого достаточно.

(12 Май 0:59) falcao

хм, мне казалось что она должна на всем промежутке убывать! однако, мое мнение получается можно опровергнуть хотя бы тем, что если сумма из остаточных членов сходится, то и весь ряд будет сходиться. Отлично! Спасибо!!!

(12 Май 2:13) tikol2006
1

Можно еще в уме доказать сходимость без поиска производной. Ряд $%\sum (-1)^n\frac{n}{n+1}=\sum (-1)^n(1-\frac{1}{n+1})=\sum (-1)^n + \sum (-1)^n\frac{1}{n+1} $% имеет ограниченные частичные суммы ибо $%\sum (-1)^n\frac{1}{n+1}$% сходится по признаку Лейбница. А тогда исходный ряд сходится по признаку Дирихле.

(12 Май 2:30) abc

@tikol2006: в формулировке признака можно требовать и того, чтобы вся последовательность монотонно стремилась к нулю. Но одно будет следствием другого, потому что признак мы сначала применим к ряду a(n0)+a(n0+1)+..., а потом добавим конечное число членов в начале, что на сходимость не влияет. Последнее всегда используется как очевидный принцип, который неизменно подразумевается.

(12 Май 2:36) falcao

Коллеги, спасибо за помощь, однако тут проблема в том, что как-то не удается корректно доказать или опровергнуть то что ряд сходится условно или абсолютно. Составил ряд из модулей: принак Даламбера ответ не дает, Коши тоже. каким способом проверить сходимость ряда из модулей посоветуете?

(12 Май 3:29) tikol2006

Примените признак сравнения с рядом $% \sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$%

(12 Май 3:40) abc

@abc это не принесет никакой пользы, так как приведенная вами в пример функция больше исходной и расходится. вот если бы она была меньше исходной и расходилась, то да, было бы классно!

(12 Май 4:03) tikol2006

@tikol2006: больше или меньше -- не важно, потому что для рядов с положительными членами справедлив признак подобия. Если a(n) ~ b(n) в том смысле, что предел отношения равен 1, то сходимость одного из рядов равносильна сходимости другого. В самом деле, из того, что предел равен 1, следует, что для достаточно больших n верны неравенства b(n)/ 2 < a(n) < 2b(n), поэтому из сходимости (b) следует сходимость (a) в силу второго неравенства, а из расходимости (b) следует расходимость (a) в силу первого неравенства.

(12 Май 4:09) falcao

И даже более того если ряд $%\sum a_n$% расходится, то из $%a_n$%~$%b_n$% следует $%\sum a_n$% ~ $%\sum b_n$% для положительных рядов. Правда чтобы это доказать уже не обойдешься грубыми неравенствами b(n)/ 2 < a(n) < 2b(n)

(12 Май 4:23) abc

@falcao, я не совсем понял Ваше объяснение, но если использовать другой признак сравнения, который гласит следующее: если передел отношения n-го члена одного и другого ряда равен некоторой константе С, такой что 0<C<+inf, то ряды сходятся и расходятся одновременно, то все прекрасно решается. В любом случае, спасибо за содействие.

(12 Май 4:30) tikol2006

@tikol2006 при дополнительном условии что оба ряда неотрицательные, иначе этот признак не применим!

(12 Май 4:59) abc
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,666
×330

задан
11 Май 22:16

показан
129 раз

обновлен
12 Май 4:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru