Евклид в "Началах" доказывает неравенство треугольника как теорему. Однако, например, в топологии существует аксиома треугольника (по сути - то же неравенство треугольника), которая, как и любая другая аксиома, не доказывается. В чём причина подобной двойственности? И почему Евклид не мог включить неравенство треугольника как аксиому в свои "Начала"?

задан 12 Май 0:45

1

Аксиома касается метрических пространств, но тогда остаётся вопрос о том, почему плоскость со стандартным расстоянием будет метрическим пространством. Неравенство треугольника для плоскости принято считать аксиомой в современных курсах геометрии, потому что оно достаточно убедительно, и из него можно выводить прочие свойства. Но в принципе можно базироваться и на других начальных предположениях.

Полезно было бы дать ссылку на текст "Начал", чтобы вспомнить ход мысли Евклида по этому поводу.

(12 Май 1:12) falcao
1

@falcao, Вы пишете: "Полезно было бы дать ссылку на текст "Начал", чтобы вспомнить ход мысли Евклида по этому поводу." .................. Вот ссылка: https://gym1505.ru/sites/default/files/blogs/euclid-1.pdf

(12 Май 1:52) Казвертеночка

@falcao, "Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника."

(12 Май 1:52) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: у меня открыт файл с текстом "Начал", но я не могу найти в нём нужный фрагмент.

(12 Май 2:22) falcao

@falcao, я пока тоже не могу его найти, но в Вики написано, что "Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника."

(12 Май 9:52) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: в тексте я не смог найти это рассуждение. Тот факт, что против большего угла лежит большая сторона, я знаю как доказывать именно через неравенство треугольника. Но может быть и какой-то другой ход мысли. Не исключаю, что само по себе неравенство равносильно какому-то другому "очевидному" факту, принимаемому неявно за аксиому. Можно посмотреть какие-нибудь старые книжки по методике преподавания геометрии. Там это может обсуждаться. У меня они есть, но на другой квартире, поэтому в данный момент не могу сравнить.

(12 Май 10:15) falcao

@falcao, но я не могу найти в нём нужный фрагмент. - насколько я понимаю - это предложение 20 на странице 32... а про углы - предложение 19 на стр.31...

Кстати, примерно тоже самое рассуждение написано в учебнике Атанасяна... )))

(12 Май 10:20) all_exist
1

@all_exist: теперь всё стало понятно. Честно говоря, я про возможность такого рассуждения не знал, а у Колмогорова это была аксиома (я по такой программе учился). Интересно, правда, "где спрятана лошадь" (с), то есть какая эквивалентная аксиома при этом неявно принимается.

(12 Май 17:19) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×761
×228
×29
×2
×2

задан
12 Май 0:45

показан
162 раза

обновлен
12 Май 17:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru