|
Найдите кубический многочлен с целыми коэффициентами, такой, что для любых трёх вещественных чисел a,b,c удовлетворяющим равенствам a+b+c=2 и a^2+b^2+c^2=2 верно f(a)=f(b)=f(c) задан 13 Май '18 20:27 
Kolyree |
|
Известно, что $%(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$%. Отсюда $%ab+ac+bc=1$%. Рассмотрим многочлен $%(t-a)(t-b)(t-c)=t^3-(a+b+c)t^2+(ab+ac+bc)t-abc=t^3-2t^2+t+abc$%. Его значение в любой из точек $%a$%, $%b$%, $%c$% одно и то же, и оно равно нулю. Полагая $%f(t)=t^3-2t^2+t=t(t-1)^2$%, имеем $%f(a)=f(b)=f(c)=-abc$% для любых чисел, удовлетворяющих условию. отвечен 13 Май '18 20:57 
falcao |