Имеется четырехугольник и два отрезка. Постройте циркулем и линейкой равновеликий четырехугольнику параллелограмм, диагоналями которого являются эти отрезки. когда задача имеет решение.

задан 13 Май 22:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, если 4-угольник не выпуклый, то его легко превратить в выпуклый той же площади, разрезав по диагонали и далее переставив треугольники. Для случая выпуклого 4-угольника ABCD, сначала превратим его в треугольник той же площади. Это делается несложно: продолжаем луч DC за точку C, а через B проводим прямую, параллельную AC, до пересечения в точке K. Треугольник AKD будет искомым.

Проводя в треугольнике среднюю линию, мы его площадь уменьшим в 4 раза. Тогда достаточно взять половины имеющихся отрезков (диагоналей параллелограмма), и построить равновеликий данному треугольник с двумя сторонами заданной длины.

Переобозначим имеющийся у нас треугольник через ABC. На луче AB построим отрезок AX заданной длины (равной половинке одного из отрезков). Пусть точка X попала на продолжение луча AB (если она попала на отрезок AB, то рассуждение аналогично). Проводим через B прямую параллельно XC до пересечения с прямой AC в точке M. Легко видеть, что XBC и XMC равновелики. Отсюда следует, что ABC равен по площади AXM, где сторона AX равна заданной величине.

Проводим через M прямую параллельно AX. Ищем на ней точку, удалённую от A на заданное расстояние (равное половинке второго из отрезков). Проводим окружность с центром A подходящего радиуса. Если она пересекает прямую, то точка пересечения Y будет третьей вершиной искомого треугольника AXY.

Задача имеет решение, если произведение длин двух данных в условии отрезков не меньше площади 4-угольника. Ясно, что для перпендикулярных диагоналей параллелограмма мы получим именно такую площадь, равную их произведению, а при домножении на синус угла между диагоналями она будет уменьшаться, стремясь к нулю, когда угол стремится к нулю.

ссылка

отвечен 14 Май 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

В данном четырёхугольнике $%ABCD$% поведём диагональ $%AC$% и прямую $%h\perp AC$%... строим точки $%F$% и $%G$% - основания перпендикуляров из $%B$% и $%D$% на прямую $%h$%... Получаем, что исходный четырёхугольник имеет площадь равную $%\dfrac{AC\cdot FG}{2}$%...

Площадь параллелограмма равна $%\dfrac{d_1\cdot d_2\cdot \sin\varphi}{2}$%... откуда получаем условие разрешимости задачи $$ AC\cdot FG \le d_1\cdot d_2 $$ Построение произведения отрезков (или среднего геометрического) вещь известная... тут только надо ввести отрезок единичной длины...

Далее можно построить отрезок длины $$ \sin\varphi = \dfrac{AC\cdot FG}{d_1\cdot d_2} $$ а там, достраивая до прямоугольного треугольника получим угол между диагоналями...

ссылка

отвечен 14 Май 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,495

задан
13 Май 22:13

показан
45 раз

обновлен
14 Май 0:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru