математический-анализ - Исследовать ряд на сходимость(абсолютную и условную)

Здравствуйте, необходимо исследовать ряд на сходимость. $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \sin{(\sqrt{n^2-1}-n)}$$ Я применил эквивалентность sin(x)~x при x->0, но никакой пользы это не дало.

Кроме того, если я хочу использовать признак Лейбница, то сталкиваюсь с проблемой, что ряд составленный из модулей стремится к нулю, но возрастает, а не убывает, как просит сам признак.

Можно ли взять и вынести (-1) вот так: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {(\sqrt{n^2-1}-n)}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {(-\sqrt{n^2-1}+n)}$$ Потом применить лейбница(наложить модуль) сказать, что модуль стремится к нулю, монотонно убывая, а потом уже как-то исследовать этот ряд полученный чтобы скзать что-то про абсолютную или условную сходимость. Заранее спасибо!