Требуется вычислить вот этот предел: $$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sum_{k=1}^{n}{k^k}}{n^n}$$ Получается точь-в-точь как в известном анекдоте: "умом чувствую, что литр, а доказать не могу". Так и подмывает написать: "очевидно, искомый предел равен 1". А как доказать?

задан 15 Май 0:29

@Williams Wol..., возьмите $%n=10$%, потом 100, потом 1000, только в уму всё это проделайте.

(15 Май 0:38) Казвертеночка

@Williams Wol..., а сколько у Вас выходит?

(15 Май 0:42) Казвертеночка
1

Это стандартная задача на применение теоремы Штольца $%\lim \frac{a_n}{b_n}=\lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$% при условиях что $%b_n$% не ограничена, строго возрастает, и предел справа существует.

(15 Май 1:31) abc

@abc, большое спасибо!

(15 Май 11:34) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я бы делал так: оценка снизу в виде 1 уже есть, и достаточно получить оценку сверху, которая стремится к 1. Берём одно из слагаемых кроме последнего и оцениваем: $%\frac{(n-k)^{n-k}}{n^n}=(1-\frac{k}n)^{n-k}n^{-k} < e^{-k(n-k)/n}n^{-k}$% в силу неравенства $%1-x < e^{-x}$%. Теперь замечаем, что $%k(n-k)\ge n-1$% при $%1\le k\le n-1$%, откуда получается верхняя оценка $%e^{-(n-1)/n}n^{-k}$%. Суммируя степени $%n$%, имеем $%\frac1n+\frac1{n^2}+\cdots+\frac1{n^{n-1}} < \frac1{n-1}$% (сумма ряда). Значит, все слагаемые кроме последнего в сумме дают меньше $%\frac{e^{-(n-1)/n}}{n-1}$%, что стремится к нулю.

ссылка

отвечен 15 Май 3:24

@falcao, большое спасибо!

(15 Май 11:34) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×621
×577
×2
×1
×1

задан
15 Май 0:29

показан
57 раз

обновлен
15 Май 11:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru