Найти предел в точке (0,0) функции u=f(x,y)

$% u= \frac{1- \sqrt[3]{sin^4x+cos^4y)} }{ \sqrt{x^2+y^2} } $%

задан 16 Май 19:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%\sin^4x+\cos^4y=x^4+o(x^4)+(1-\frac{y^2}2+o(y^2))^4=1+x^4-2y^2+o(x^4)+o(y^2)$%

$%\sqrt[3]{\sin^4x+\cos^4y}=(1+x^4-2y^2+o(x^4)+o(y^2))^{1/3}=1+\frac{x^4}3-\frac{2y^2}3+o(x^4)+o(y^2)=1+o(r)$%, где $%r=\sqrt{x^2+y^2}$%. Таким образом, функция имеет вид $%\frac{o(r)}r=o(1)$%, то есть двойной предел равен нулю.

ссылка

отвечен 16 Май 20:58

А как у вас вышло,что корень 3 степени из (1+x^2-2^y2+o(x^4)+o(y^2)) = 1+ x^3/3-2y^2/3+o(x^4)+o(y^2) ?

(16 Май 21:17) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: это формула Тейлора из списка, где $%(1+t)^a=1+at+o(t)$%, и надо взять $%a=1/3$%.

(16 Май 21:29) falcao

Почему во второй строчке x^4/3-2y^2/3 = 0?

И как мы получили из о(x^4)+o(y^2) = o(r)?

(18 Май 19:59) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: во второй строчке нет того равенства, которое Вы написали. Там есть его левая часть, но нулю она не равна.

Второе очевидно, так как |x|,|y|<=r. Поэтому y^2/r стремится к нулю.

(18 Май 21:35) falcao

Я про переход 1+ x^4/3-2y^2/3 + о(x^4)+о(y^2)=1+о(r) Где у нас пропадают члены с х и y. Не совсем понятно, как так получилось. "Поэтому y^2/r стремится к нулю" мы это рассматриваем при y стремящемся к 0?

(18 Май 21:58) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: члены пропадают потому, что они равны o(r), а не нулю. Уже было сказано, что x^4=o(r), и тогда o(x^4)=o(o(r))=o(r) ввиду простейших свойств o-символики. Аналогично для y^2.

То, что y^2/r->0 при (x,y)->(0,0), очевидно (произведение бесконечно малой величины на ограниченную).

(18 Май 22:31) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,672
×638

задан
16 Май 19:12

показан
128 раз

обновлен
18 Май 22:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru