Пусть дан оператор, определенный следующим образом:

$$A: l_1 \to l_1$$ по правилу $$(x_1, x_2, x_3, ...) \to (\frac{x_1} { 2}, \frac{x_2} {2} - x_1, \frac{ x_3}{ 2 }- x_2, ...)$$

Требуется проверить его на ограниченность, компактность, найти сопряженный, резольвенту и спектр.

задан 18 Май '18 17:33

10|600 символов нужно символов осталось
3

Интересно, где выдают такие хорошие задачи? Эта одна тянет на семестровую работу.

Ограниченность: $$||Ax||=\left|\dfrac{x_1}{2}\right|+\left|\dfrac{x_2}{2}-x_1\right|+\left|\dfrac{x_3}{2}-x_2\right|+...\leq\dfrac{|x_1|}{2}+\dfrac{|x_2|}{2}+|x_1|+\dfrac{|x_3|}{2}+|x_2|+...\leq$$$$\leq\frac{3}{2}(|x_1|+|x_2|+|x_3|+...)=\frac{3}{2}||x||.$$ Компактность (вполне непрерывность): найдём в $%l_1$% последовательность, из которой нельзя выделить сходящуюся в $%l_1$% подпоследовательность. Тем самым, последовательность окажется не предкомпактна. Если прообраз этой последовательности окажется ограничен, то получится, что оператор $%A$% перевёл ограниченное множество в не предкомпактное и тем самым не является вполне непрерывным. Возьмём $%y_n=(0,0,...,0,\frac{1}{2},-1,0,0,...)$%, где $%\frac{1}{2}$% стоит на $%n-$%м месте. Тогда при $%m>n$% $%||y_n-y_m||=3$% и никакая подпоследовательность $%y_n$% не может быть фундаментальной, а, тем более, сходящейся в $%l_1$%. Прообразом $%y_n$% будет $%x_n=(0,0,...,0,1,0,...)$%, где 1 стоит на $%n-$%м месте. Ясно, что это множество является ограниченным в $%l_1$%.

alt text

Спектр и резольвента. Сперва найдём собственные значения (если они есть). Уравнение $%Ax=\lambda x$% равносильно системе $%\frac{x_1}{2}=\lambda x_1$%, $%\frac{x_2}{2}-x_1=\lambda x_2$%,... При $%\lambda\ne\frac{1}{2}$% система имеет только нулевое решение, т.е. такие $%\lambda$% не являются собственными значениями. При $%\lambda=\frac{1}{2}$% последовательно из второго, третьего и т.д. уравнений снова получаем нулевое решение. Таким образом, точечный спектр отсутствует.

Далее, $%(A-\frac{1}{2}I)x=(0,-x_1,-x_2,...)$%, т.е. образом оператора $%A-\frac{1}{2}I$% является множество векторов $%y\in l_1$%, у которых первая координата нулевая. Это множество не плотно в $%l_1$%, поэтому число $%\frac{1}{2}$% принадлежит остаточному спектру оператора $%A$%.

Рассмотрим случай $%\lambda\ne\frac{1}{2}$%. составим уравнение $%(A-\lambda I)x=y$%. Из него легко выразить $%x_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{y_k}{(\frac{1}{2}-\lambda)^{n-k+1}}$%. При $%\left|\frac{1}{2}-\lambda\right|>1$% оператор $%(A-\lambda I)^{-1}$% определён на всём пространстве $%l_1$% и ограничен, поскольку $%\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n|\leq\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{|\frac{1}{2}-\lambda|^n}\sum\limits_{n=1}^\infty|y_n|$%. Таким образом, эти значения -- регулярные. Попутно построена резольвента $%R(A)y=\left(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{y_k}{(\frac{1}{2}-\lambda)^{n-k+1}}\right)_{n=1}^\infty$%.

Если $%\left|\frac{1}{2}-\lambda\right|<1$%, то оператор $%(A-\lambda I)^{-1}$% не определён, например, при $%y=(1,0,0,...)$%, поэтому эти точки принадлежат спектру. Образом оператора $%(A-\lambda I)$% являются все $%y\in l_1$%, при которых $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{y_k}{(\frac{1}{2}-\lambda)^{n-k+1}}\right|<\infty$%, в частности, последовательность $%\left|\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{y_k}{(\frac{1}{2}-\lambda)^{n-k+1}}\right|$% ограничена, т.е. $%\left|\sum\limits_{k=1}^ny_k(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}\right|\leq c|\frac{1}{2}-\lambda|^{n+1}$%, откуда следует, что $%\sum\limits_{k=1}^\infty y_k(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}=0$%. Получили, что искомый образ содержится в множестве $%\left\{y\in l_1:\sum\limits_{k=1}^\infty y_k(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}=0\right\}$%. Это множество -- ядро линейного ограниченного функционала $%\varphi(y)=\sum\limits_{k=1}^\infty y_k(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}$%, которое замкнуто (как ядро всякого линейного ограниченного функционала) и не совпадает со всем пространством $%l_1$%, поскольку функционал, очевидно, не тождественно нулевой. Тем самым, замыкание образа оператора $%(A-\lambda I)$% не может дать всё пространство, т.е. точки $%\left|\frac{1}{2}-\lambda\right|<1$% принадлежат остаточному спектру.

Поскольку спектр -- замкнутое множество, то точки $%\left|\frac{1}{2}-\lambda\right|=1$% также лежат в спектре. При исследовании образа получаем, что $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\sum\limits_{k=1}^n{y_k}(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}\right|<\infty$%, т.е. снова $%\sum\limits_{k=1}^\infty y_k(\frac{1}{2}-\lambda)^{k}=0$%. Повторяя рассуждения, видим, что и эти точки принадлежат остаточному спектру оператора.

ссылка

отвечен 25 Май '19 21:10

изменен 26 Май '19 5:07

Не понимаю, почему один блок, посвящённый сопряжённому оператору, не хочет корректно отображаться.

(25 Май '19 21:31) caterpillar

@caterpillar: это из-за обилия подчёркиваний, я думаю. Такие "капризы" местного редактора часто случаются. Он почему-то не любит, когда в качестве нижнего индекса появляется что-то более сложное нежели цифры. Скажем, $%\|x\|_{\infty}$% очень часто искажается.

(25 Май '19 22:46) falcao

@falcao, самое забавное, что тут в нижних индексах как раз цифры, есть k и значок бесконечности, норм нет. Вообще не вижу ничего необычного, чего бы редактор раньше не переваривал. Я сперва думал, что это из-за звёздочек, но в первых двух строчках всё отображалось корректно, в том числе и с бесконечностями внизу. Короче, пока выход в виде скриншота (причём сделанного с режима предпросмотра:))

(26 Май '19 5:14) caterpillar

@falcao, ещё хотел спросить у Вас, как раз в тему. Допустим, у нас та же самая задача, только пространство $%l_2$%. Можно ли как-то классифицировать часть спектра $%|\frac{1}{2}-\lambda|=1$%, используя определение. Те же рассуждения про ядро функционала здесь не пройдут. В принципе, я знаю, что это непрерывный спектр, но для этого использую сопряжённый оператор и то, что эти точки не являются его точечным спектром, откуда всё мгновенно и следует. Но вот без перехода к сопряжённому, можно ли?

(26 Май '19 5:17) caterpillar

@caterpillar: я эту задачу сам не исследовал, поэтому каких-либо подробностей сообщить не могу. По идее, рассмотрение сопряжённого оператора для случая "эль-2" выглядит вполне естественно.

(26 Май '19 12:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,991
×834

задан
18 Май '18 17:33

показан
608 раз

обновлен
26 Май '19 12:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru