При каких $%n$% уравнение $%x^4+x^3+x^2+x+1=0$% имеет корни в $%F_{3^n}$%?

задан 18 Май 21:09

изменен 18 Май 21:21

Тут теги $%, а не $

(18 Май 21:19) Williams Wol...

@Williams исправил

(18 Май 21:21) jack jones
10|600 символов нужно символов осталось
0

Задача примерно из этой серии, только малость попроще.

Ясно, что x=1 не является корнем уравнения, поэтому можно домножить на x-1 и получить x^5-1=0. Тогда корень этого уравнения имеет порядок 5 в мультипликативной группе поля. Для существования такого элемента необходимо и достаточно, чтобы порядок конечной группы делился на 5 (так как 5 -- простое число). Получаем, что 3^n-1 делится на 5. Рассматривая остатки степеней тройки от деления на 5, видим, что при n=1,2,... они равны 3,4,2,1,3,... , то есть периодичны с периодом 4. Из сказанного следует, что n делится на 4.

ссылка

отвечен 18 Май 22:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×332

задан
18 Май 21:09

показан
103 раза

обновлен
18 Май 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru