Найти сумму всех квадратичных вычетов по простому модулю $%p$% и произведение всех квадратичных невычетов по простому модулю $%p$%.

задан 18 Май 21:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Известно, что при p > 2 все квадратичные вычеты имеют вид 1^2, 2^2, ... , k^2 по модулю p, где k=(p-1)/2. Сумма квадратов первых k натуральных чисел равна k(k+1)(2k+1)/6. При p > 3 в числителе появляется число p, которое ни с чем в знаменателе не сокращается. Поэтому сумма по модулю p равна нулю. Случаи p=2, p=3 анализируются отдельно. Там сумма равна 1.

Произведение всех ненулевых остатков по модулю p равно (p-1)! (это -1 по модулю p по теореме Вильсона, хотя сама эта теорема здесь и не нужна). Произведение квадратичных вычетов равно произведению элементов 1, 2, ... , k, k, ... , 2, 1, где k=-(k+1), ... , 2=-(p-2), 1=-(p-1). Поэтому при перемножении будет (p-1)! умноженное на (-1)^k. На квадратичные "невычеты" приходится (-1)^k. То есть это 1 при p=4m+1 и -1 при p=4m+3. При p=2 есть только квадратичный вычет 1.

ссылка

отвечен 18 Май 22:56

@falcao в итоге, сумма 2 , а произведение -1?

(19 Май 20:47) jack jones

@jack jones: у меня же всё написано и объяснено! При p > 3 сумма равна НУЛЮ. При p=2 и при p=3 сумма равна 1. Произведение равно 1 при p=4m+1 и -1 при p=4m+3.

(19 Май 21:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×332

задан
18 Май 21:25

показан
122 раза

обновлен
19 Май 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru