Доказать, что оператор $% A $% является линейным ограниченным, найти его норму.

Оператор умножения действует из $% X $% в $% X $%.

$% X=L_{4/3} [0,2] $%

$%
(Ax)(t) = \begin{cases} t \cdot cost \cdot x(t) &\text{, $t \in [0,1]$}\\ 0 &\text{, $t \in (1,2]$} \end{cases} $%

задан 20 Май '18 16:26

изменен 20 Май '18 16:26

10|600 символов нужно символов осталось
3

Линейность оператора очевидна. Оценим норму:$$||Ax||^{4/3}=\int\limits_0^2|Ax(t)|^{4/3}dt=\int\limits_0^1t^{4/3}\cos^{4/3}t|x(t)|^{4/3}dt\leq M^{4/3}\int\limits_0^1|x(t)|^{4/3}dt\leq M^{4/3}||x||^{4/3}.$$ Здесь $%M=\max\limits_{t\in[0,1]}t\cos t=t_0\cos t_0$%. Из полученных оценок следует, что $%||A||\leq M$%, что одновременно доказывает и ограниченность оператора.

Найдём $%t_0$% и $%M$%. Дифференцируя, получаем уравнение $%f(t)=\cos t-t\sin t=0$%. Поскольку $%f(0)=1$%, а $%f(1)=\cos1-\sin1=\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-1)<0$%, то на интервале $%(0,1)$% имеется (хотя бы одно) решение. Поскольку $%f'(t)=-2\sin t-t\cos t<0$%, то решение $%t_0\in(0,1)$% единственно. Попутно установлено, что $%t_0$% -- точка максимума и в её левой полуокрестности функция возрастает, а в правой -- убывает. Значение $%M$% может быть получено численными методами.

Установим противоположное неравенство для нормы. Для этого рассмотрим неотрицательную функцию $%x_0(t)$%, "сосредоточенную" в окрестности точки максимума функции $%t\cos t$%, например, $%x_0(t)=\begin{cases}1 & x \in [t_0-\varepsilon, t_0]\\0 & x \not\in[t_0-\varepsilon, t_0]\end{cases}$%, тогда $$||Ax_0||^{4/3}=\int\limits_{t_0-\varepsilon}^{t_0}t^{4/3}\cos^{4/3}tdt\geq (t_0-\varepsilon)^{4/3}\cos^{4/3}(t_0-\varepsilon)\int\limits_{t_0-\varepsilon}^{t_0}1dt=$$$$=(t_0-\varepsilon)^{4/3}\cos^{4/3}(t_0-\varepsilon)\int\limits_{0}^{2}x_0^{4/3}(t)dt=(t_0-\varepsilon)^{4/3}\cos^{4/3}(t_0-\varepsilon)||x_0||^{4/3}.$$ Таким образом, $%||A||\geq (t_0-\varepsilon)\cos(t_0-\varepsilon)\to M$% при $%\varepsilon\to0$%. Ответ: $%||A||=M$%.

ссылка

отвечен 29 Авг '19 18:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×794
×83
×79

задан
20 Май '18 16:26

показан
569 раз

обновлен
29 Авг '19 18:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru