алгебра - Задание С5 из ЕГЭ по математике

Я на всякий случай приведу рассуждение, не использующее графиков, относящееся к уравнению $%|x^2-5x+6|=a$% и к случаю, когда оно имеет ровно три решения. Его можно переписать в виде $%|(x-5/2)^2-1/4|=a$%, выделяя полный квадрат. Если решения есть, то $%a$% неотрицательно, и тогда $%(x-5/2)^2=1/4\pm a$%. Если среди чисел вида $%1/4\pm a$% имеются отрицательные, а также если $%a=0$%, то решений у уравнения не более двух. Если они оба положительны, то решений ровно $%4$%. Проверку того, что все они разные, достаточно осуществить для $%y=x-5/2$%, так как разным значениям $%y$% по этой формуле соответствуют разные значения $%x$%. А для $%y$% получается четыре значения: $%\pm\sqrt{1/4\pm a}$%. Очевидно, что при указанных выше условиях тут возникает два различных положительных и два различных отрицательных значения.

Остаётся единственный случай, когда одно из чисел вида $%1/4\pm a$% положительно, а другое равно нулю. С учётом того, что $%a$% неотрицательно, подходит только $%a=1/4$%. Очевидно, что решений у уравнения в этом случае ровно три.

Добавление. Вот аналитическое решения для случая $%|x^2-5x+6|=ax$%. В зависимости от знака выражения под модулем, возникает два квадратных уравнения.

Случай 1: $%x^2-5x+6 < 0$%, то есть $%x\in(2,3)$%. Здесь получается уравнение $%x^2+(a-5)x+6=0$%.

Случай 2: $%x^2-5x+6 \ge 0$%, то есть $%x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty)$%. Здесь получается уравнение $%x^2-(a+5)x+6=0$%.

Каждое из квадратных уравнений имеет не более двух решений на всей числовой прямой. Отсюда ясно, что если дискриминант хотя бы одного из уравнений будет отрицателен, то общее количество решений не превысит двух. Следовательно, мы можем исходить из предположения о неотрицательности обоих дискриминантов.

Поскольку $%D_1=(a-5)^2-24\ge0$%, это означает, что $%|a-5|\ge2\sqrt{6}$%. Далее важный момент: поскольку $%ax$% равно модулю числа, это произведение неотрицательно. Мы уже знаем, что на интервале $%(2,3)$% хотя бы одно решение имеется, но при этом $%x > 0$%, и поэтому из условия $%ax\ge0$% мы заключаем, что только случай $%a\ge0$% заслуживает рассмотрения.

Теперь рассмотрим второй дискриминант: $%D_2=(a+5)^2-24=a^2+10a+1$%. Мы видим, что он положителен в нашем случае, то есть это уравнение имеет на всей числовой прямой два различных корня. По теореме Виета, их произведение равно $%6$%, то есть это корни одного знака. Их сумма равна $%a+5$%, то есть тоже положительна. Значит, оба корня положительные. Снова обратимся к тому, что произведение равно $%6$% и сделаем отсюда вывод, что либо каждый из корней принадлежит интервалу $%(2,3)$%, и тогда в случае 2 решений на нужном промежутке не оказывается, что нас не интересует, так как тогда общее число решений меньше трёх. Либо оба решения принадлежат $%(-\infty,2]\cup[3,\infty)$%, и тогда мы приходим к неизбежному выводу, что решение для случая 1 имеется ровно одно.

Здесь напрашивается мысль о приравнивании дискриминанта $%D_1$% к нулю, но следует быть аккуратнее, так как в принципе может быть, что уравнение из случая 1 имеет два решения, но только одно из них принадлежит $%(2,3)$%. Здесь нам на помощь снова приходит теорема Виета: произведение корней равно $%6$%, и если один из них принадлежит этому промежутку (а такой точно есть), то принадлежит и второй. И это может быть только в случае, когда оба корня совпадают и равны $%x_1=x_2=\sqrt{6}$%. (Заметим, что к такому же выводу мы приходим в процессе графического решения, анализируя точки касания прямой и параболы.) По теореме Виета, $%x_1+x_2=5-a$%, то есть $%a=5-2\sqrt{6}$%.

Мы пришли к выводу, что никакое другое значение $%a$% не подходит, но надо ещё убедиться, что это значение подойдёт. Для случая 1 решение у нас одно, и достаточно проверить, что для случая 2 решений будет два. Мы уже выясняли, что там есть два различных корня, но надо исключить возможность, когда они оба принадлежат $%(2,3)$%. По идее, нам здесь все величины известны, и можно провести проверку в явном виде, но из-за иррациональности корней она не очень желательна. Поэтому можно предложить такой способ: ввиду того, что корни имеют вид $%x_{3,4}=(a+5\pm\sqrt{D_2})/2$%, достаточно взять больший из них и показать, что он больше трёх. Это равносильно тому, что $%\sqrt{D_2} > 1-a$%, но последнее сразу следует из возведения в квадрат (число $%1-a$% у нас положительно): $%a^2+10a+1 > a^2-2a+1$%. Таким образом, в ответе имеем в точности одно значение параметра $%a=5-2\sqrt{6}$%.

Немного длинновато, но зато всё получается чисто логическим путём, а сложных вычислений здесь нет.