0
1

При каких a существует ровно 3 решения уравнения $%|x^2-5x+6|=ax$%. Решил графически, хочу проверить ответ.

задан 7 Апр '13 14:11

изменен 18 Апр '13 14:56

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Здесь в условии пока нет уравнения. Есть только модуль квадратного трёхчлена, который никак не связан с $%a$%. имелось в виду, что он равен $%a$% или что-то другое? Ещё один вопрос: "существует $%3$% решения" следует понимать как "ровно три решения"? Дело в том, что когда решений четыре, то формально истинным будет утверждение, что три решения существуют.

(7 Апр '13 14:29) falcao

Исправил, торопился и когда исправлял видать интернет "повис" и изменения не сохранились. Решите, пожалуйста, с равенством ax. Решил вариант без x (т.е. тот, который вы привели и ответы совпали).

(8 Апр '13 11:25) XAegis

А зачем нам решать? Действуйте по аналогии! Метод вам показан.

(8 Апр '13 11:55) DocentI

@XAegis: решение тут не совсем аналогично, поэтому я сейчас сделаю добавление к своему ответу. Просьба на будущее относиться внимательнее к формулировке условия.

(8 Апр '13 12:54) falcao

DocentI, я то решил, а вот ответа для этого задания нет, вот и хочу его проверить.

(9 Апр '13 3:47) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я на всякий случай приведу рассуждение, не использующее графиков, относящееся к уравнению $%|x^2-5x+6|=a$% и к случаю, когда оно имеет ровно три решения. Его можно переписать в виде $%|(x-5/2)^2-1/4|=a$%, выделяя полный квадрат. Если решения есть, то $%a$% неотрицательно, и тогда $%(x-5/2)^2=1/4\pm a$%. Если среди чисел вида $%1/4\pm a$% имеются отрицательные, а также если $%a=0$%, то решений у уравнения не более двух. Если они оба положительны, то решений ровно $%4$%. Проверку того, что все они разные, достаточно осуществить для $%y=x-5/2$%, так как разным значениям $%y$% по этой формуле соответствуют разные значения $%x$%. А для $%y$% получается четыре значения: $%\pm\sqrt{1/4\pm a}$%. Очевидно, что при указанных выше условиях тут возникает два различных положительных и два различных отрицательных значения.

Остаётся единственный случай, когда одно из чисел вида $%1/4\pm a$% положительно, а другое равно нулю. С учётом того, что $%a$% неотрицательно, подходит только $%a=1/4$%. Очевидно, что решений у уравнения в этом случае ровно три.

Добавление. Вот аналитическое решения для случая $%|x^2-5x+6|=ax$%. В зависимости от знака выражения под модулем, возникает два квадратных уравнения.

Случай 1: $%x^2-5x+6 < 0$%, то есть $%x\in(2,3)$%. Здесь получается уравнение $%x^2+(a-5)x+6=0$%.

Случай 2: $%x^2-5x+6 \ge 0$%, то есть $%x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty)$%. Здесь получается уравнение $%x^2-(a+5)x+6=0$%.

Каждое из квадратных уравнений имеет не более двух решений на всей числовой прямой. Отсюда ясно, что если дискриминант хотя бы одного из уравнений будет отрицателен, то общее количество решений не превысит двух. Следовательно, мы можем исходить из предположения о неотрицательности обоих дискриминантов.

Поскольку $%D_1=(a-5)^2-24\ge0$%, это означает, что $%|a-5|\ge2\sqrt{6}$%. Далее важный момент: поскольку $%ax$% равно модулю числа, это произведение неотрицательно. Мы уже знаем, что на интервале $%(2,3)$% хотя бы одно решение имеется, но при этом $%x > 0$%, и поэтому из условия $%ax\ge0$% мы заключаем, что только случай $%a\ge0$% заслуживает рассмотрения.

Теперь рассмотрим второй дискриминант: $%D_2=(a+5)^2-24=a^2+10a+1$%. Мы видим, что он положителен в нашем случае, то есть это уравнение имеет на всей числовой прямой два различных корня. По теореме Виета, их произведение равно $%6$%, то есть это корни одного знака. Их сумма равна $%a+5$%, то есть тоже положительна. Значит, оба корня положительные. Снова обратимся к тому, что произведение равно $%6$% и сделаем отсюда вывод, что либо каждый из корней принадлежит интервалу $%(2,3)$%, и тогда в случае 2 решений на нужном промежутке не оказывается, что нас не интересует, так как тогда общее число решений меньше трёх. Либо оба решения принадлежат $%(-\infty,2]\cup[3,\infty)$%, и тогда мы приходим к неизбежному выводу, что решение для случая 1 имеется ровно одно.

Здесь напрашивается мысль о приравнивании дискриминанта $%D_1$% к нулю, но следует быть аккуратнее, так как в принципе может быть, что уравнение из случая 1 имеет два решения, но только одно из них принадлежит $%(2,3)$%. Здесь нам на помощь снова приходит теорема Виета: произведение корней равно $%6$%, и если один из них принадлежит этому промежутку (а такой точно есть), то принадлежит и второй. И это может быть только в случае, когда оба корня совпадают и равны $%x_1=x_2=\sqrt{6}$%. (Заметим, что к такому же выводу мы приходим в процессе графического решения, анализируя точки касания прямой и параболы.) По теореме Виета, $%x_1+x_2=5-a$%, то есть $%a=5-2\sqrt{6}$%.

Мы пришли к выводу, что никакое другое значение $%a$% не подходит, но надо ещё убедиться, что это значение подойдёт. Для случая 1 решение у нас одно, и достаточно проверить, что для случая 2 решений будет два. Мы уже выясняли, что там есть два различных корня, но надо исключить возможность, когда они оба принадлежат $%(2,3)$%. По идее, нам здесь все величины известны, и можно провести проверку в явном виде, но из-за иррациональности корней она не очень желательна. Поэтому можно предложить такой способ: ввиду того, что корни имеют вид $%x_{3,4}=(a+5\pm\sqrt{D_2})/2$%, достаточно взять больший из них и показать, что он больше трёх. Это равносильно тому, что $%\sqrt{D_2} > 1-a$%, но последнее сразу следует из возведения в квадрат (число $%1-a$% у нас положительно): $%a^2+10a+1 > a^2-2a+1$%. Таким образом, в ответе имеем в точности одно значение параметра $%a=5-2\sqrt{6}$%.

Немного длинновато, но зато всё получается чисто логическим путём, а сложных вычислений здесь нет.

ссылка

отвечен 7 Апр '13 15:01

изменен 8 Апр '13 13:47

Все же, думаю, построить график в координатах аох и сразу можно увидеть, где три корня

(7 Апр '13 15:21) epimkin

График здесь строится очень легко, на основании его поведения сразу находится ответ. Всё это совершенно справедливо, и именно такой подход мне видится наиболее разумным. Но это если решать для себя. А оформлять решение лучше аналитически -- тем более, если делать это не "вслепую", а уже с осознанием того, как всё на самом деле происходит.

(7 Апр '13 15:53) falcao

Недавно решали С5 с учеником. Вроде этого, только справа выражение тоже с модулем, $%|x+a|+3a$%. Не представляю, как бы мы разобрали все случаи аналитически! На картинке все видно.
Надеюсь, графическое объяснение допустимо на экзамене?

(7 Апр '13 16:26) DocentI

Я считаю, что на уровне эвристики допустимо что угодно. Важно, чтобы все необходимые выводы делались корректно. Критерии тут самые обычные -- такие же, как и в геометрии. Ясно, что чертёж помогает делать правильные выводы, но при этом не должно быть заключений о том, что три линии пересеклись в одной точке только по той причине, что так нарисовано. Я не знаю, какой именно пример Вы разбирали, но разве анализ на отдельных интервалах в таких случаях не достаточен?

(7 Апр '13 16:38) falcao

Так ведь интервалов много, и поведение на них зависят от величины параметра. Пример был такой: $%|x^2+4x-5|+1=|x+a|+3a$%. При каком a имеется ровно три корня. Нарисуйте, посмотрите!

Я не говорю, что нельзя рассмотреть все случаи. Но у меня на это духу не хватило.

(7 Апр '13 17:26) DocentI

@DocentI: да, в этом примере полный разбор случаев нежелателен. Графики строятся и анализируются достаточно просто. Но здесь из общих соображений можно сосредоточиться на случаях касания (включая случаи прохождения через точку, в которой нет производной), и далее всё можно свести к вычислениям.

(7 Апр '13 21:27) falcao

Спасибо, ответ схожий.

(9 Апр '13 5:51) XAegis
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

$$|ax^2-5x+6|=ax\Leftrightarrow \begin{cases}y=|ax^2-5x+6|,\\y=ax.\end{cases}$$

График первой функции легко строится - парабола $%y=x^2-5x+6$%, у которой часть, находящаяся ниже оси абсцисс, зеркально отображается относительно этой оси. График второй функции - прямая проходящая через начало координат. Чтобы уравнение имело ровно три решения, эта прямая должна быть касательной к графику функции $%y=-(x^2-5x+6).$% Пусть $%x_0-$% абсцисса точки касания, тогда уравнение касательной, проходящей через эту точку, будет таким $%y=(-2x_0+5)x.$% Точка касания принадлежит графику функции $%y=-(x^2-5x+6),$% поэтому $%-x_0^2+5x_0-6=(-2x_0+5)x_0,$% откуда $%x_0=\sqrt{6}.$% Значит $%a=-2x_0+5=5-2\sqrt{6}.$% Ответ. $%a=5-2\sqrt{6}.$%

ссылка

отвечен 8 Апр '13 14:32

изменен 8 Апр '13 16:22

Спасибо, ответ схожий.

(9 Апр '13 5:51) XAegis

прямая должна быть не просто касательной а проходить через максимум функции -(x^2−5x+6) на отрезке [2;3], чтобы пересекались с функцией в одной точке,Экстремум x=2.5 y= 0.25 и если написать уравнение прямой проходящей через (0;0) (2.5;0.25)=> a=0.1

(15 Апр '13 23:09) Riemann
1

@Riemann: это неверно. Если прямая пройдёт через вершину параболы, то будет вторая точка пересечения с графиком. В указанном Вами случае получится уравнение $%x^2-4,9x+6=0$%, которое имеет корни $%x=2,5$% и $%x=2,4$% (проверяется по теореме Виета). Конечно, там надо рассматривать именно касательную.

(15 Апр '13 23:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$% |x^2-5x+6|=ax\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} x^2-5x+6=ax\\ x^2-5x+6=-ax \end{aligned}\right. \\ ax\ge0 \end{cases} $%

1) При $%a=0,$% имеем $%|x^2-5x+6|=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} x=2\\ x=3 \end{aligned}\right. $% . Уравнение имеет 2 решения.

Ясно,что при $%a\ne0 $% уравнения совокупности не могут иметь общие решения.

2) При $%a>0,$% имеем $% \begin{cases} \left[\begin{aligned} x^2-5x+6=ax\\ x^2-5x+6=-ax \end{aligned}\right. \\ x\ge0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} x^2-(5+a)x+6=0\\ x^2-(5-a)x+6=0 \end{aligned}\right. \\ x\ge0 \end{cases}. $%

При неотрицательных дискриминантах обе квадратные уравнения совокупности имеют корьни одинакового знака,так-как согласно теоремы Виета произведение корней положительное число-равно $%6-$%и, а первое имеет 2 положительные корьни,( $%a>0 \Rightarrow D_1=(a+5)^2-24>0,$% а сумма корьней $%а+5>0$%.)Надо потребовать $%D_2=0,$% и чтобы корень второго уравнения был положительной- $%5-a>0.$% И так $% \begin{cases}(5-a)^2-24=0 \\5-a>0\\a>0 \end{cases}\Leftrightarrow a=5-\sqrt{24}\Leftrightarrow a=5-2\sqrt{6}. $%

3) При $%a<0,$% имеем $% \begin{cases} \left[\begin{aligned} x^2-5x+6=ax\\ x^2-5x+6=-ax \end{aligned}\right. \\ x\le 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} x^2-(5+a)x+6=0\\ x^2-(5-a)x+6=0 \end{aligned}\right. \\ x\le 0 \end{cases}. $%

При неотрицательных дискриминантах обе квадратные уравнения совокупности имеют корьни одинакового знака,так-как согласно теоремы Виета произведение корней положительное число-равно $%6-$%и, а второе уравнение имеет только положительные корьни (сумма корьней $%5-а>0$%.)В этом случае система не может иметь $%3$% решений, так-как решения второго уравнения не удовлетворяют систему.

Ответ $%5-2\sqrt6$%

ссылка

отвечен 8 Апр '13 19:49

изменен 8 Апр '13 20:36

Переход к условиям $%D_1 > 0$%, $%D_2=0$% не выглядит для меня достаточно обоснованным, хотя сам по себе он верен. Возможно, я не до конца понимаю логическую суть рассуждения. Но вообще-то здесь ситуация выглядит не такой простой. Скажем, откуда следует, что не будет наоборот? Вдруг дискриминант равен нулю у другого уравнения? Далее, теоретически возможна положительность обоих дискриминантов, но при этом какой-то корень одного уравнения будет совпадать с корнем другого.

(8 Апр '13 20:01) falcao

Я тоже так думала, и сделала изменения.

(8 Апр '13 20:03) ASailyan

@ASailyan: с учётом добавленных обоснований, решение стало вполне убедительным. Там только надо исправить опечатку в знаке одного из неравенств в последнем пункте. Я такого рода вещам придаю повышенное значение, так как знаю, что многие экзаменаторы не только придают этому всему большое значение, но даже специально на этом "ловят", чтобы проверить качество знаний.

(8 Апр '13 20:34) falcao

Спасибо.Это вина copy-past.

(8 Апр '13 20:36) ASailyan

Спасибо, ответ схожий.

(9 Апр '13 5:51) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×3,329
×300

задан
7 Апр '13 14:11

показан
3058 раз

обновлен
18 Апр '13 14:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru