а) На каждой из шести карточек написано по числу. Для каждого из 63 непустых наборов этих карточек нашли сумму всех чисел, написанных на карточках этого набора. Известно, что не все эти суммы оказались целыми. Докажите, что целых сумм не более 31. б) На каждой из десяти карточек написано по числу. Для каждого из 1023 непустых наборов этих карточек нашли сумму всех чисел, написанных на карточках этого набора. Известно, что не все эти суммы оказались целыми. Сколько среди них, самое большее, могли оказаться целыми?

задан 22 Май 10:46

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим рассуждение для любого n. Будем также рассматривать пустой набор с нулевой суммой. Пусть даны числа x(1), ... , x(n), где не все суммы целые. Тогда найдётся i, для которого x(i) не целое. Все 2^n сумм разбиваем на пары вида {S,S+x(i)}, где S -- какая-то из сумм без использования x(i). Оба элемента пары целыми быть не могут, поэтому в каждой такой паре есть не более одной целочисленной суммы. Всего их тогда не более 2^{n-1}, и пустая сумма сюда входит. Отсюда следует общее утверждение.

Пример, когда целых сумм ровно 2^{n-1}, с учётом пустой, строится тривиально.

ссылка

отвечен 23 Май 12:34

очень круто!

(23 Май 13:46) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×984
×222

задан
22 Май 10:46

показан
117 раз

обновлен
23 Май 13:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru