|
В треугольнике $%ABC$% проведены высота $%AH$%, биссектриса $%BD$% и медиана $%CM$%. Доказать, что если треугольник $%HDM$% правильный, то и треугольник $%ABC$% правильный. задан 23 Май '18 22:27 
EdwardTurJ |
|
Построим окружность с центром M на диаметре AB. Она проходит через точку H, поэтому сторона равностороннего треугольника равна MH=AB/2. На таком же расстоянии от M находится точка D, поэтому она лежит на окружности, и угол BDA прямой. Это значит, что биссектриса является высотой, BA=BC, и D есть середина AC. Строя окружность на диаметре AC, получаем DA=DC=DH, и получаем, что половина стороны AC также равна стороне правильного треугольника. Тем самым, AC=AB. Все три стороны равны. отвечен 24 Май '18 0:50 
falcao Задачу придумал вчера, но мне вначале показалось, что из равносторонности $%HDM$% не следует равностороность $%ABC$%. Пытался построить пример, пока не понял, что это не так, а доказательство несложное.
(24 Май '18 12:03)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: да, мне тоже задача показалась несложной, но она достаточно элегантная на вид получилась.
(24 Май '18 12:28)
falcao
|