В треугольнике $%ABC$% проведены высота $%AH$%, биссектриса $%BD$% и медиана $%CM$%. Доказать, что если треугольник $%HDM$% правильный, то и треугольник $%ABC$% правильный.

задан 23 Май 22:27

изменен 24 Май 13:00

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


2.6k210

10|600 символов нужно символов осталось
5

Построим окружность с центром M на диаметре AB. Она проходит через точку H, поэтому сторона равностороннего треугольника равна MH=AB/2. На таком же расстоянии от M находится точка D, поэтому она лежит на окружности, и угол BDA прямой. Это значит, что биссектриса является высотой, BA=BC, и D есть середина AC. Строя окружность на диаметре AC, получаем DA=DC=DH, и получаем, что половина стороны AC также равна стороне правильного треугольника. Тем самым, AC=AB. Все три стороны равны.

ссылка

отвечен 24 Май 0:50

Задачу придумал вчера, но мне вначале показалось, что из равносторонности $%HDM$% не следует равностороность $%ABC$%. Пытался построить пример, пока не понял, что это не так, а доказательство несложное.

(24 Май 12:03) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: да, мне тоже задача показалась несложной, но она достаточно элегантная на вид получилась.

(24 Май 12:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×645
×5
×4

задан
23 Май 22:27

показан
1478 раз

обновлен
24 Май 13:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru