У профессора n зонтов, из них k дома, остальные на работе. Профессор ходит туда и обратно, при этом беря с собой зонт только если идет дождь(что происходит независимо с положительной вероятностью p). Если там, откуда идет профессор, зонтов нет, а на улице дождь - он идет без зонта и промокает.

Найти математическое ожидание числа путешествий профессора до первого раза, когда он промокнет.

задан 26 Май '18 17:38

изменен 29 Май '18 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
3

Переформулируем задачу так:

Пусть пьяница может находиться в точках $%1, 2, ... , n$% ( в точках $%0$% и $%(n+1)$% он попадает в вытрезвитель). Каждую секунду он пытается делать шаги попеременно влево, вправо ( каждый раз меняя направление на противоположное).

С вероятностью $%p$% у него получается сделать шаг, а с вероятностью $%q=1-p$% он остается на своем месте.

$%M_k-$% математическое ожидание числа его ходов до попадания в вытрезвитель, если изначально он находился в точке $%k$%. Пусть для определенности первый ход он пытается сделать в левом направлении.

Тогда для каждой начальной точки $%1,2,...,n$% мы можем записать систему:

$$ \begin{equation} \begin{cases} M_1=1\cdot p+(M_n+1)\cdot q = q\cdot M_n+1 \\ M_2=(M_{n}+1)\cdot p+(M_{n-1}+1)\cdot q=q\cdot M_{n-1}+p\cdot M_n+1 \\ \ \ . \ .\ . \\M_k=(M_{n+2-k}+1)\cdot p+(M_{n+1-k}+1)\cdot q=q\cdot M_{n+1-k}+p\cdot M_{n+2-k}+1 \\ \ \ . \ .\ .
\\ M_n=(M_2+1)\cdot p+(M_1+1) \cdot q=q\cdot M_1+p\cdot M_2+1 \end{cases} \end{equation} $$

Получаем:

$$M_k=\dfrac{(n-k+1)\cdot(k-p)}{p \cdot q}$$

ссылка

отвечен 29 Май '18 1:04

изменен 29 Май '18 1:14

@Sergic Primazon: я пытался рассуждать похожим образом, составляя систему, которую в общем виде решить не смог. В Вашей модели мне непонятно, почему неизвестных n, а не n+1. Ведь число зонтов в том месте, где профессор в данный момент находится, принимает значения от 0 до n. Если оно равно нулю, то не факт, что он промокнет, так как дождя может не быть. Система у меня во многом похожая, но вид выражений там какой-то сложный.

(29 Май '18 1:50) falcao

@falcao: для блужданий ( N точек )все сдвинулось на 1( т.е. всего N-1 зонтов): точка 1 -> 0 зонтов дома и N-1 на работе. точка 2 -> 1 зонт дома и N-2 на работе. ... точка N -> N-1 зонт дома и 0 на работе.

(29 Май '18 3:55) Sergic Primazon

@Sergic Primazon: в условии зонтов всего n. Правильно ли я понимаю, что n кроме всего прочего было заменено на n-1?

И другая вещь, которой я не понял: если дождя нет, то почему блуждание остаётся на месте? Там ведь состояние должно меняться с k на n-k при переходе в другое место?

(29 Май '18 4:05) falcao

@falcao: (состояние должно меняться с k на n-k при переходе в другое место)- только именно поэтому я и переформулировал эту задачу на задачу о блуждании, мы каждый раз просто меняем направление движения.

(29 Май '18 4:17) Sergic Primazon

@Sergic Primazon: теперь всё окончательно прояснилось. Система у меня была такая же (с точностью до обозначений), но в самом первом уравнении p умножалось на 0, а не на 1. Если профессор сразу попадал под дождь, я считал, что число "ходок" до промокания у него равно нулю. И в таком виде решение у системы имело сложный вид (что косвенно подсказывает, какая из трактовок правильная).

(30 Май '18 1:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,044
×50

задан
26 Май '18 17:38

показан
544 раза

обновлен
30 Май '18 1:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru