Здравствуйте! Пусть $%A$% - квадратная матрица порядка $%n$% с нулями на главной диагонали и $%\pm$%1 вне диагонали. Доказать, что при четных $%n$% матрица $%A$% невырождена, а при любом нечетном $%n$% матрица $%A$% может быть вырожденной.

задан 26 Май 22:20

изменен 27 Май 9:52

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


2.9k29

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть n чётно. Будем считать, что все числа вне главной диагонали равны 1, рассматривая значение определителя по модулю 2. Достаточно доказать, что он равен 1, то есть нечётен. Все "молнии" можно рассматривать независимо от знака, то есть определитель по модулю 2 равен числу ненулевых молний, которые не содержат элементов главной диагонали. Таких молний столько же, сколько перестановок без неподвижных элементов; это известная задача о беспорядках. Ответ в ней равен $%n!(\frac1{2!}-\frac1{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!})$%. Понятно, что если раскрыть скобки, то при чётном $%n$% все слагаемые кроме последнего делятся на $%n$%, то есть чётны, а последнее равно 1.

Пусть теперь $%n$% нечётно. Рассмотрим сначала матрицу с единицами вне главной диагонали. В каждой строке будет чётное число единиц. Сменим произвольным образом знак у половины из них. Тогда сумма столбцов станет равна нулевому вектору. Столбцы линейно зависимы, то есть определитель равен нулю.

ссылка

отвечен 26 Май 23:14

при нечётном $%n$% достаточно вспомнить про кососимметрические матрицы...

(27 Май 9:40) all_exist

@all_exist: для нечётного случая всё достаточно легко -- я применил первое приходящее в голову соображение.

(27 Май 13:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,633
×991
×326
×86

задан
26 Май 22:20

показан
89 раз

обновлен
27 Май 13:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru