Допустим есть два евклидовых подпространства, натянутых на вектора L1: a1=(1,0,0,0), a2=(0,1,0,0) L2: b1=(3,4,7,0), b2=(0,3,2,1) Нужно определить угол между ними. Вот что я пока придумал: Допустим, x=x1b1+x2b2 спроецируем его на L1, тем самым выразим координаты проекции y в базисе a1,a2 через x1 и x2. затем выразим через x1 и x2 косинус угла между x и проекцией, и найдем максимум этой функции, тогда максимуму косинуса соответствует минимум угла, который и будет углом между L1 и L2. Мне это решение не очень нравится, т.к. получается довольно монструозная функция, можно ли придумать что-нибудь более элегантное?(Предположу, что это наверняка есть в какой-нибудь книжке, но я прочитал все разделы, относящиеся к данной теме в 3-х известных мне книгах, но ничего про это не нашел, так что буду благодарен, если кто-нибудь ткнет меня носом в нужный учебник).

задан 27 Май 23:29

изменен 27 Май 23:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Во втором подпространстве можно выбрать базис вида b1'=(1,0,a,b), b2'=(0,1,c,d). Общий вид вектора второго подпространства: xb1'+yb2'=(x,y,xa+yc,xb+yd). Ортогональная проекция его на первое подпространство: (x,y,0,0). Потребуем, чтобы она имела единичную длину, полагая x=cos t, y=sin t. Тогда надо минимизировать угол, максимизировав его косинус, что равносильно минимизации длины проектируемого вектора при условии, что длина проекции равна 1.

Получается задача минимизации квадрата длины x^2+y^2+(xa+yc)^2+(xb+yd)^2, что равно 1+x^2(a^2+b^2)+y^2(c^2+d^2)+2xy(ac+bd). Квадраты косинуса и синуса выражаем через косинус двойного угла: x^2=(1+cos2t)/2, y^2=(1-cos2t)/2, а также 2xy=sin2t. Получается некоторая константа плюс выражение Acos2t+Bsin2t, где A=(a^2+b^2-c^2-d^2)/2, B=ac+bd. Минимальное значение такой функции равно -sqrt(A^2+B^2). Остальное -- вычисления.

ссылка

отвечен 28 Май 0:15

Спасибо, это решение действительно лучше.

(28 Май 8:29) webeseit
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,003

задан
27 Май 23:29

показан
80 раз

обновлен
28 Май 8:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru