Автобусы приезжают на остановку в целочисленные моменты времени. Интервал между автобусами равен $%1, 2, · · · , 20$% минутам с равными вероятностями. Фридрих приходит на остановку (в целочисленный момент времени), не посмотрев на расписание. Каково математическое ожидание времени ожидания Фридрихом автобуса?

P.S. Считайте, как обычно, что автобусы начали ходить давным-давно.

задан 28 Май '18 16:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим более общую задачу для значения n, и в конце подставим n=20.

Разобьём промежуток времени на отрезки длиной 1, 2, ... , n. На отрезке длиной k время ожидания является линейной функцией, убывающей от k до нуля. Среднее время ожидания -- это среднее значение кусочно-линейной функции. Это интеграл от функции по отрезку длиной 1+2+...+n=n(n+1)/2, делённый на длину отрезка. Интеграл равен сумме площадей равнобедренных прямоугольных треугольников, то есть это (1^2+...+n^2)/2. Для суммы квадратов первых n натуральных чисел известна формула n(n+1)(2n+1)/6, которая легко доказывается по индукции. После деления на длину промежутка времени получится (2n+1)/6.

При n=20 будет 41/6 минуты, то есть 6 минут 50 секунд.

ссылка

отвечен 28 Май '18 21:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,044
×50

задан
28 Май '18 16:36

показан
728 раз

обновлен
28 Май '18 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru