Исследовать на сходимость в зависимости от p (p>0) интеграл от 0 до + бесконечности sinx / (x^2+(arctgx)^p)

задан 28 Май 17:00

изменен 29 Май 1:15

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


3.9k29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим поведение интеграла на бесконечности. Арктангенс стремится к п/2. При p > 0 предел его p-й равен бесконечности. Функция x^2+(arctg x)^p при этом монотонно стремится к бесконечности, а обратная величина монотонно стремится к нулю. Тогда несобственный интеграл от 1 до бесконечности сходится по признаку Дирихле. При p=0 получается x^2+1 с тем же результатом. Наконец, при p < 0 арктангенс в степени стремится к нулю. Знаменатель стремится к бесконечности. Проверим, что при x>=x0 для некоторого x0 это стремление будет монотонным. Производная знаменателя равна 2x+p(arctg x)^(p-1)/(1+x^2). Второе слагаемое стремится к нулю, а первое -- к бесконечности. Поэтому производная будет положительна, начиная с некоторого значения x0. Поэтому здесь также ссылаемся на признак Дирихле: интеграл на бесконечности сходится для любого значения параметра.

Осталось рассмотреть поведение интеграла в нуле. Здесь sin x ~ x, arctg x ~ x. При p > 2 арктангенс в степени ведёт себя как x^p, что быстрее стремится к нулю нежели x^2. Знаменатель будет эквивалентен x^2(1+x^(p-2)) ~ x^2. Вся функция эквивалентна 1/x, и интеграл вблизи нуля от dx/x расходится. Аналогично при p=2. Если p < 2, то знаменатель эквивалентен x^p(1+x^(2-p)) ~ x^p. Вся функция эквивалентна 1/x^(p-1). Для сходимости в нуле нужно p-1 < 1, что имеет место. Значит, при p < 2 несобственный интеграл будет сходиться.

ссылка

отвечен 28 Май 21:16

1

@falcao, спасибо!

(29 Май 0:49) bbbbbb
1

для выяснения поведения на бесконечности достаточно всего лишь такого неравенства: $%\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(x)|}{x^2+\arctan(x)^p}<\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}=1$% без всяких признаков Дирихле.

(29 Май 2:06) abc

@abc: да, конечно. Так рассуждать намного проще.

(29 Май 2:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,050
×224
×97
×3

задан
28 Май 17:00

показан
146 раз

обновлен
29 Май 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru