В интернете гуляет ролик, что решена задача трисекции угла. И хотя я понимаю, что математики уже доказали, что это невозможно, решил проверить погрешность решения Галлямова. Суть его решения:

  1. Из вершины угла α провести дугу радиуса R.
  2. Образуемую хорду разделить на 3 части.
  3. Через точки деления провести лучи до пересечения с дугой радиуса R и через точки пересечения провести хорды.
  4. Найти сумму трёх хорд и полученный отрезок разделить на 3 части.

Эта треть совпадает с длиной хорды, которая образуется, если угол разделить на 3 абсолютно равные части, а именно Rsinα/6.
Когда путём не очень сложных вычислений вывел формулу 1/3 суммы трёх хорд и решил определить, какая при этом погрешность, я не то что удивился, а поразился совпадению длин хорд, вычисленной по формуле Rsinα/6 и полученной в результате построения: для угла в 54град. погрешность составила 0,005.. % (процента!), а для угла в 90град. - 0,093…% (по-моему, это максимальная погрешность для этой задачи).
Найти зависимость погрешности от величины делимого угла.
Можно ли по этому способу разделить угол на 3 части с заранее заданной погрешностью?

задан 8 Апр '13 13:24

изменен 8 Апр '13 19:45

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я проделал все эти вычисления, а потом разложил в ряд получившуюся функцию, пользуясь программой Maple. Если угол был равен $%x$% радиан, то после описанных построений возникает угол, равный $$\frac{x}3-\frac1{78732}x^7-\frac{61}{25509168}x^9-\frac{479}{1530550080}x^{11}+\cdots,$$ то есть точность приближения действительно получается довольно высокая. С другой стороны, это не удивительно, так как после нескольких естественных усреднений что-то должно компенсироваться.

Вопрос о делении угла с заданной погрешностью в такой постановке вряд ли представляет интерес, так как решения любого уравнения находятся с заданной точностью при помощи хорошо развитого аппарата численных методов. Тот способ, который здесь рассматривается, даёт высокую, но не "беспредельную" точность. Наверное, путём итерации усреднений точность можно повышать, но это принципиально мало чем отличается от итерационных методов с использованием хорд, касательных и всего остального.

ссылка

отвечен 8 Апр '13 14:54

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Решение Трисекции угла. 1) Краткое решение. 2) Более подробное решение.

Краткое решение. Никто не удосужился применить для решения Трисекции угла - известный с древних времен - Египетский треугольник. Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. - малый катет - 3 - большой катет - 4 - гипотенуза - 5 Чертим любой произвольный угол. Произвольно циркулем отмечаем дугу. Чертим Египетский треугольник, малый катет которого, равен длине этой дуги . Тогда большой катет Египетского треугольника, будет иметь значение 133,3333.... % от малого катета. А гипотенуза 166,6666....% от малого катета, то есть стороны этого треугольника подчиняются условию отношению сторон 3:4:5. Циркулем отнимаем с большого катета 133,3333.... малый катет, получаем 33,3333....% или 1/3 длины дуги угла. Отмерим на дуге 2 раза с помощью циркуля расстояние равный 33,3333.... и отметим их точками. Эти 2 точки соединяем с началом угла - таким образом произвольный угол разделен на три абсолютно равные части. Задача Трисекции угла решена.

ссылка

отвечен 30 Май 1:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×12

задан
8 Апр '13 13:24

показан
759 раз

обновлен
30 Май 1:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru