Здравствуйте! Пусть $%S$% и $%A$% - матрицы $%n$% на $%n$%, все элементы которых - целые числа. При этом $%det S \ne 0, det A=1$%. Обозначим $%B = S^{-1}AS$%. Доказать, что при некотором натуральном $%m$% все элементы матрицы $%B^m$% - целые числа.

задан 31 Май 3:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%d=\det S$%. По теореме об обратной матрице, $%S^{-1}=\frac1dT$% для некоторой матрицы $%T$% с целыми коэффициентами. При этом $%ST=TS=dE$%.

Рассмотрим кольцо матриц порядка $%n$% над $%\mathbb Z_d$%. Оно конечно, поэтому среди степеней матрицы $%A$% (точнее, её образа в этом кольце), имеются совпадения. Это значит, что для некоторых натуральных $%k$%, $%m$% матрицы $%A^k$% и $%A^{k+m}$% равны в этом кольце. Домножая на $%A^{-k}$% (это матрица с целыми коэффициентами ввиду $%\det A=1$%), имеем равенство $%A^m=E$% по модулю $%d$%, то есть $%A^m=E+dX$% для некоторой целочисленной матрицы $%X$%.

Отсюда $%B^m=S^{-1}A^mS=\frac1dT(E+dX)S=\frac1dTS+TXS=E+TXS$% -- матрица с целыми коэффициентами.

ссылка

отвечен 2 Июн 4:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,766
×326

задан
31 Май 3:47

показан
110 раз

обновлен
2 Июн 4:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru