|
В первом октанте прямоугольной декартовой системы координат задан трёхгранник уравнениями своих граней: $$Ax + By – Cz = 0$$; $$Dx + Ey – Fz = 0$$; $$Gx + Hy – Iz = 0$$. Все коэффициенты при неизвестных удовлетворяют условию расположения трёхгранника в первом октанте. Найти уравнение трисектрисы трёхгранника (аналог биссектрисы плоского угла). $$Правка \08.04.2013$$ Конечно, даны уравнения трёх плоскостей, а не рёбер. Мне следует переформулировать задачу. Спасибо за существенные замечания. Сожалею, что не уточнил свой вопрос перед отправкой. Своё понимание "трисекрисы" я пояснил в скобках. задан 8 Апр '13 15:19 
nikolaykruzh...
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Разве это уравнения рёбер? Я думаю, это всё-таки уравнения граней. Тут возникает не одна задача, а две похожие между собой. Надо дать точное определение того, что считается в данном случае аналогом биссектрисы. Это может быть луч, все точки которого равноудалены от рёбер угла, а может быть луч, у которого все точки равноудалены от граней. И та, и другая аналогия вполне правомерна. Первая из задач в общем виде может быть решена так: для каждой пары плоскостей находим их пересечение. Это будет прямая, проходящая через начало координат. То есть мы знаем её направляющий вектор. Его можно далее разделить на длину. Теперь, имея три вектора $%v_1$%, $%v_2$%, $%v_3$% единичной длины, вычисляем их попарные скалярные произведения. Далее составляем линейную комбинацию векторов с тремя неопределёнными коэффициентами: $%v=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3$% и записываем равенство трёх скалярных произведений: $%v\cdot v_1=v\cdot v_2=v\cdot v_3$%. Это позволяет найти вектор $%v$% с точностью до постоянного коэффициента, и определить тем самым луч, образующий одинаковые углы со всеми рёбрами. Для второй версии задачи можно взять готовую формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости, и затем составить систему уравнений. Явный вид итоговых формул в обоих случаях будет, скорее всего, громоздким. отвечен 8 Апр '13 17:30 
falcao Интуиция подсказывала мне, что всё будет выглядеть проще, без нагромождений. Но у меня "плохая" интуиция, она часто меня подводит, порою подавая мне явно ошибочные решения. Но она так срослась с мое
(9 Апр '13 12:21)
nikolaykruzh...
(продолжаю) с моей сутью, что отрывать её от себя - как будто потерять часть самого себя: жалко... Может быть, расчёты по второму варианту будут более практичными?.. Вы, кстати, не знаете, в какой системе координат рассчитывают полёты спутников на Сатурн и проч.? Я себе плохо представляю, как можно математически связать Землю и межпланетник, даже с помощью компьютерного центра. Неподвижна ли система координат или связана с движущимся межпланетником? Вопрос не по теме, но если Вы знаете - не промолчите: такое у меня создалось о Вас мнение. Я, пожалуй, промолчал бы, но это не совет! Ради Бога!
(9 Апр '13 12:37)
nikolaykruzh...
Кстати, так и непонятно, что является вершиной угла, для которого строится эта "трисектриса". Начало координат - тогда зачем плоскости? Точка пересечения заданных плоскостей? - тогда почему они непременно должны быть в первом октанте?
(9 Апр '13 13:24)
DocentI
Я уже давал ответ, а он почему-то пропал. Вершина угла - начало ПДСК (декартовой). Задача в расчёте на "чайников", к каковым я себя отношу: всё упрощено донельзя. Я рассчитывал, что ответ будет не слишком сложным, в пределе 9-и величин коэффициентов, задействованных в уравнениях. Однако ответ @falcao меня охладил. Математику что первый октант, что восьмой - не всё ли равно? А нематематик правой рукой, как правило, пишет лучше, чем левой и т. д.
(9 Апр '13 17:09)
nikolaykruzh...
Если вершиной является начало координат, то равноудаленной прямой (в обоих смыслах) будет прямая $%x = y = z$%. Но причеа тут заданные в задаче плоскости?
(9 Апр '13 23:48)
DocentI
@DocentI: здесь первый октант внёс много сумятицы. Он никакого отношения не имеет к вопросу -- задача от этого не зависит. Имелось в виду только то, что автора интересует этот случай. Есть три луча в первом октанте, они задают трёхгранный угол, и все вопросы относятся к этой ситуации. Вместо лучей в задаче были выписаны уравнения граней этого трёхгранного угла.
(10 Апр '13 0:04)
falcao
Дай-то бог! Я общаюсь с автором дольше вашего и много чего повидала... :-))
(10 Апр '13 0:25)
DocentI
@nikolaykruzh...: разница между лучом, точки которого равноудалены от граней, и между лучом, точки которого удалены от рёбер трёхгранного угла, примерно такая же, как между центром вписанной и описанной окружности. Это разные вещи. Расчёт для второго случая, скорее всего, ещё более громоздкий. В буквенном виде там возникают более сложные уравнения. Решать это надо численно, если что. Астрономические и космические расчёты -- это узкоспециальная область; я по этому поводу ничего сказать не могу. Теоретическая механика у меня была одним из самых нелюбимых предметов на мехмате.
(10 Апр '13 1:05)
falcao
Уважаемая @DocentI! Ну вот не можете Вы, чтобы не выразить своего скептического отношения к автору! С похожей фразы я уже начинал один панегирик, посвящённый Вам. Вы это помните, конечно. Поэтому не продолжаю, но, убегая, как мерзкая дворовая собачонка, не прочь укусить: слово "бог" теперь, говорят, пишут с прописной буквы.
(10 Апр '13 10:12)
nikolaykruzh...
@falcao! Мне просто не верится, что теоретическая механика могла быть у Вас падчерицей. Если человек хорошо "видит" математику, то для него изучать все предметы точного склада - как орехи лущить... Впрочем, жизнь сложнее логики. Для некоего сладкоешки один вид мёда может вызвать аллергический синдром... Ситуация "...если что." маловероятна, но "чем чёрт не шутит, когда Боженька спит"... За пояснения - спасибо!
(10 Апр '13 10:26)
nikolaykruzh...
Как писать - бог или Бог? Лично я - атеистка.
(10 Апр '13 10:34)
DocentI
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Что является вершиной, через которую проходит "трисектриса"?
Кстати, трисектриса - это один из двух лучей, делящих угол на три равные части.
Для двойных углов (угол между плоскостями) вводится понятие "биссекторная плоскость". Для тройного угла единственного аналога биссектрисы нет.
Если вы вводите новое понятие, дайте его определение.
Это не трехгранник, если считать его границами и координатные плоскости. Это шестигранник.
Для образования трехгранника достаточно одной плоскости.
@nikolaykruzh...: Вы так и не дали определения. Я же объяснил в своём ответе, что "аналогов" имеется как минимум два.
@falcao, я имел в виду равенство углов по рёбрам, видимо, из-за этого внёс название "рёбра" в текст вопроса. Хотя подразумевал и второй вариант (равенство величин нормалей до соответствующих плоскостей), который, понимал, возникнет в виде дополнительного вопроса. Но даст ли равенство нормалей равенство углов? Пожалуй, даст. Что касается задержки, не всегда у меня есть возможность выйти в Интернет. Не обессудьте... А почему "как минимум"? Разве подразумевается какой-то третий вариант?!.. Есть трисекция плоского угла, но разве там лучи - трисектрисы? По-моему, трисектриса в данном случае - норма
@nikolaykruzh.., вы гуглом пользуетесь? Попробуйте!
Вот, посмотрите хотя бы здесь
К сожалению, не привык. А - надо! Спасибо Вам. Вы постоянно меня выручаете, направляете, советуете. Я принимаю это как должное, тем более, оттого, что помню: когда-то Вы заявили, что простое "спасибо" относите к одному из самых существенных видов благодарности. Пользуюсь Вашей добротой... @DocentI! По-моему, по русскому обычаю в Википедии не хватает ещё одной трисектрисы: той, которую предлагаю я. Вы не находите? Она легко укладывается в логику математических понятий (с опорой на биссектрису) в противовес тем, уже существующим, самозванным, хотя и занявшим почётное место. Я просил бы ареопаг..
С точки зрения лингвистики биссектриса - "делящая на 2". Так что логично, "трисектриса - деляшая на три". Но ваша трисектриса ничего не делит, у нее другое свойство - равноудаленность.
А-а-а-а... Ну тогда: какая-нибудь эквидистантиса. Впрочем, кому это нужно? У меня всегда замах: из мухи слона сделать, а результат: из мухи даже плюгавый комарик не выкраивается... Успехов Вам в Ваших Олимпиадах.