Изучаю начала анализа, дошел до понятия дифференцируемости.

Говорится о понятии "линейности в малом". Говорится, что если сделать снимок графика дифференцируемой функции, потом увеличить его во много раз, то будет видно подобие прямой линии.

Приводится формулировка: alt text

Для меня непонятен смысл (k+a)h. Какая идея стоит за kh + ka? Как kh+ka связана с линейностью в малом?

Беру примеры: 1) f(x)=x;

(0 + 0.00000<много нулей>1) - (0) = 0.00000<много нулей>1 = kh + ka = ?

задан 1 Июн 18:29

1

Для линейной функции f(x)=kx+b получается f(a+h)-f(a)=kh, и при этом alpha равно нулю. Возьмём теперь f(x)=x^2. Здесь f(a+h)-f(a)=(a+h)^2-a^2=2ah+h^2=(2a+h)h. При этом k=2a (производная), а alpha=h стремится к нулю. То есть функция в малой окрестности (при малых значениях h) ведёт себя почти как линейная -- график почти сливается с графиком касательной в точке. То есть с прямой -- графиком линейной функции.

(1 Июн 21:20) falcao

@falcao, А если взять x^3? (x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 = (3x^2 + 3xh + h^2)h. В данном случае k=3x^2, a = 3xh + h^2. Но 3x^2 - не линейная функция, а квадратичная? Или, я так понимаю, что маленькое значение h делает так, что не важно, какая функция стоит под k?

(1 Июн 21:46) fanat-falcao
1

@falcao: здесь x -- фиксированное число, потому что производная рассматривается в отдельной точке. Линейной должна быть функция от h. Для кубической функции всё верно: k=3x^2 (это производная), плюс alpha, которое стремится к нулю при h->0.

(1 Июн 22:18) falcao

@falcao, Вещи немного начали проясняться, но не до конца. График (a+h)^3 - (a)^3 = 3a^2h +3ah^2 +h^3 - прямая линия, но сливается с осью абсцисс по мере уменьшения h, а не с касательной в точке a. https://i.imgur.com/dhC0988.png

(1 Июн 22:57) fanat-falcao

При этом отчетливо вижу слияние x^3 с графиком прямой линии (касательной) к точке x=1. Но интуитивно непонятно, как это слияние связывается через f(a+h)-f(a)=константа

(1 Июн 23:09) fanat-falcao
1

@fanat-falcao: начнём с конца. Откуда Вы взяли, что f(a+h)-f(a) -- это константа? Это линейная функция вида kh. В данном случае k=3a^2=3, если a=1.

Предложу такой удобный взгляд на вещи. Что такое "малое" число? Это такое число, которое мы само ещё замечаем (типа h=10^{-6}), а его квадрат уже нет (величиной 10^{-12} уже совсем пренебрегаем). Поэтому от 3a^2h+3ah^2+h^3 останется "главный член" 3a^2h, который и задаёт касательную вместо кривой.

(1 Июн 23:45) falcao

@falcao, Я все время думал, что переменной здесь считается (а), а не h. Теперь все на 90% понятно, дальше буду сам додумывать, т.к мысль понятна. Большое спасибо за терпение и уделенное время

(2 Июн 0:27) fanat-falcao

@fanat-falcao: сначала фиксируется a и берётся h->0. При этом находится k, зависящее от a. Это производная. Она отдельно рассматривается в каждой точке. А уже после этого можно смотреть, как она зависит от a, то есть в этот момент a считается переменной.

(2 Июн 1:04) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,504
×110

задан
1 Июн 18:29

показан
71 раз

обновлен
2 Июн 1:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru