Известно, что последовательность $%\{b_n\}$% сходится. Может ли последовательность $%\{c_n\}$%, где $%c_n=n(b_n-b_{n-1})$%, стремиться к $%\infty$%?

задан 3 Июн '18 11:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%c_n$% задана; тогда $%b_n=\frac{c_1}1+\frac{c_2}2+\cdots+\frac{c_n}n$%. Такая последовательность будет давать частичные суммы ряда, который сходится по признаку Лейбница, если положить $%c_n=(-1)^n\sqrt{n}$%, что стремится к бесконечности.

ссылка

отвечен 3 Июн '18 13:03

@falcao, большое спасибо!

(3 Июн '18 15:54) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если под $%\infty$% имелась ввиду $%+\infty$% то не может. Если попеременно то $%+\infty$% то $%-\infty$% то подходит $%b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$%. Последовательность с первым нулевым членом равна последовательности частичных сумм ряда: $%b_n=\sum\limits_{i=1}^{n}(b_i-b_{i-1})$%. При этом ряд сходится. Значит если ряд знакпостоянен должно выполняться $%b_n-b_{n-1}=o(\frac{1}{n})$% (не для всех n=1,2,... а хотя бы для некоторой подпоследовательности натурального ряда) и $%n(b_n-b_{n-1})=o(1)\ne\infty$%.

А наша последовательность монотонна с некоторого члена ввиду $%n(b_i-b_{i-1})\rightarrow+\infty$% значит ряд знакопостоянен.

ссылка

отвечен 3 Июн '18 13:02

изменен 3 Июн '18 13:12

1

@falcao Как бы лучше записать эту мысль?

Что из сходимости положительного ряда $%\sum\limits_{i=1}^{n}(b_i-b_{i-1})$% "следует" $%b_n-b_{n-1}=o(\frac{1}{n})$% Ведь на самом деле это не следует, а следует лишь для некоторой подпоследовательности натурального ряда

(3 Июн '18 13:16) abc
1

@abc: для знакоположительного случая там всё очевидно -- из стремления к +бесконечности следует, что все члены, начиная с некоторого, больше 1.

(3 Июн '18 15:29) falcao

@abc, большое спасибо!

(3 Июн '18 15:55) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×117
×24
×8
×5

задан
3 Июн '18 11:55

показан
336 раз

обновлен
3 Июн '18 15:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru