Добрый день, есть следующая задача - Среди 200 деталей, произведенных в смену на станке, каждая деталь независимо от других может оказаться бракованной с вероятностью 0.01. Найдите вероятность того, что бракованных деталей окажется менее 5%.

Вопрос в следующем: условие задачи наводит решать ее через интегральную теорему Лапласа, но тут беда в том, что $% npq < 10$%, а следовательно приближение будет плохим. Можно ли как-то решать ее по-другому? (по формуле бернулли не хочется считать $%q^{199}$% и тд)

задан 3 Июн 17:05

изменен 3 Июн 17:06

Тут вообще-то вероятность будет очень близка к 1, каким способом ни считай. В формуле Бернулли можно q^199=(1-p)^199 и прочие степени с большим показателем заменить на приближённо равные типа e^{-199p}.

(3 Июн 17:51) falcao

@falcao я правильно понял что лаплас в этом случае даст верный ответ? и как вы считаете (1-p)^199?

(3 Июн 18:46) Nikitc
1

@Nikitc: я посчитал на компьютере через формулу Бернулли, то есть "точно". Получилось 0.9999598584. На уровне практической вероятности, то 1. Лаплас даёт чуть завышенный ответ: 0.9999996730.

Что касается степеней, то при малых значениях p, величина 1-p примерно равна e^{-p}, о чём я сказал выше.

(3 Июн 18:56) falcao

@falcao у меня лапласом не такой ответ получился, получилось $%Ф(5)+Ф(1,421)=0.5+0.4223=0.9223$% плохо приблизилось.

(3 Июн 20:12) Nikitc

@Nikitc: а как получились такие значения под знаком Ф? Ведь тут вероятность события S(n)<=9, из неё получается верхняя граница для (S(n)-np)/sqrt(npq). Она примерно равна 5, и интеграл от -бесконечности до 5 очень близок к 1.

(3 Июн 21:00) falcao

@falcao нам нужно менее 5% значит меньше 10, поэтому $%P(0 \leq m \leq 9) = Ф(5)-Ф(-1.421)=Ф(5)+Ф(1.421)$% а значения получились так $%x_2 = \frac{9 - 2}{\sqrt(1.99)}$% и $%x_1 = \frac{-2}{\sqrt(1.99)}$%

(3 Июн 21:34) Nikitc

@Nikitc: я нижнюю границу не брал, потому что число деталей не может оказаться отрицательным. Рассматривал только неравенство m<=9. Но это в любом случае есть некая "прикидка". Она в достаточной степени корректна, потому что оценивать можно вероятности событий m=10, m=11, ... , а они далеки от среднего, и потому достаточно малы.

(3 Июн 21:49) falcao

@falcao Расскажите как вы рассматривали такое неравенство, очень интересно

(3 Июн 23:46) Nikitc

@Nikitc: так я делал ровно то же, что и Вы, но брал лишь верхнюю оценку <=9. Поэтому и получил те же Ф(5). Но я не понимаю, почему Вы этому придаёте какое-то значение. Это "прикидка", её уже сделали -- чисто для сравнения. Какова её точность, априори сказать трудно. В принципе, это мало отличается от того, чтобы сказать, что величина близка к 1, что является правдой.

(4 Июн 0:07) falcao

@falcao у меня изначально был вопрос если npq < 10 и через бернулли считать муторно, что в этом случае делать? есть другие способы?

(4 Июн 0:29) Nikitc

@Nikitc: я не вижу здесь какого-то быстрого способа подсчёта. Если разрешено использовать компьютер или калькулятор, то вполне годится использование формулы Бернулли. Там проблема скорее не в степенях, а в сочетаниях.

(4 Июн 1:37) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,072

задан
3 Июн 17:05

показан
85 раз

обновлен
4 Июн 1:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru