Случайная величина Z имеет показательное распределение с параметром лямбуда . Найти вероятность P события {Z-M[Z]^2 < D[Z]} . Оформить результат графически

Помогите решить, буду очень багодарен !

задан 8 Апр '13 21:13

Проверьте, пожалуйста, точность написания основного неравенства. Я подозреваю, что там скобки пропущены, то есть имелся в виду квадрат разности $%Z$% и $%MZ$%, и всё это должно быть меньше дисперсии $%DZ$%.

(8 Апр '13 21:20) falcao

да, наверное, там еще скобки нада, просто в условии неточность... там находится следующее: {Z-M[z|^2<D[z|}(cj со скобкаи неточность была)

(8 Апр '13 21:57) kolyan_23

знаю,что здесь нада брать интеграл, но не знаю как его решить(

(8 Апр '13 21:58) kolyan_23
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для показательно распределённой величины с параметром $%\lambda$% плотность равна $%f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$% при $%x\ge0$%. Вне этого промежутка плотность равна нулю.

Матожидание равно интегралу от плотности, умноженной на $%x$%. Это будет $$MZ=\int\limits_0^{\infty}xf(x)\,dx=\lambda\int\limits_0^{\infty}xe^{-\lambda x}\,dx=\frac1{\lambda}.$$ Интегралы этого типа вычисляются стандартно, поэтому я ограничусь замечанием, что здесь применяется интегрирование по частям.

Для нахождения дисперсии сначала найдём матожидание квадрата случайной величины (способ вычисления интеграла тот же, что и выше): $$MZ^2=\int\limits_0^{\infty}x^2f(x)\,dx=\lambda\int\limits_0^{\infty}x^2e^{-\lambda x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.$$ Теперь выражаем дисперсию: $%DZ=MZ^2-(MZ)^2=1/\lambda^2$%.

Поскольку запись условия вызывает у меня сомнения, далее я рассмотрю два варианта. Первый -- это тот, на который я подумал, то есть со скобками вокруг разности. Событие $%\{(Z-MZ)^2 < DZ\}$% в нашем случае эквивалентно $%\{Z < 2/\lambda\}$%, то есть $$\left.\int\limits_0^{2/\lambda}f(x)\,dx=\lambda\int\limits_0^{2/\lambda}e^{-\lambda x}\,dx=-e^{-\lambda x}\,\right|_0^{2/\lambda}=1-e^{-2}.$$ Эта величина постоянна, и от значения $%\lambda$% она не зависит.

Наконец, если всё выглядит буквально так, как оно было написано, то событие $%\{Z-MZ^2 < DZ\}$% превращается в $%\{Z < 2/\lambda^2\}$%, то есть в интеграл$$\left.\int\limits_0^{2/\lambda^2}f(x)\,dx=\lambda\int\limits_0^{2/\lambda^2}e^{-\lambda x}\,dx=-e^{-\lambda x}\,\right|_0^{2/\lambda^2}=1-e^{-2/\lambda}.$$

В ответе, судя по всему, надо построить график соответствующей функции при $%\lambda > 0$%. В первом из рассмотренных случаев (со скобками) получается постоянная функция. А здесь -- функция монотонно убывает от $%1$% до нуля, стремясь к последнему из значений, но не достигая его.

ссылка

отвечен 8 Апр '13 22:10

Огромное вам спасибо за ваш труд и помощь !

(8 Апр '13 22:32) kolyan_23

не получается оформить функцию графически, как ее задать?

(9 Апр '13 13:14) kolyan_23

@kolyan_23: построение графиков -- это вещь, которая когда-то должна была изучаться. Здесь надо построить график для функции $%p(\lambda)=1-e^{-2/\lambda}$%, это достаточно просто. Можно использовать какие-то программы, где рисуются графики.

(9 Апр '13 13:51) falcao

Если совсем уж строго вычислять, то лучше ещё доказать абсолют ную сходимость интеграла.

(18 Апр '13 6:05) MathTrbl

@MathTrbl: а какой интеграл имеется в виду? У тех несобственных интегралов, которые здесь встречаются, сходимость доказывается в процессе их вычисления.

(18 Апр '13 11:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,996

задан
8 Апр '13 21:13

показан
736 раз

обновлен
18 Апр '13 11:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru