Найти плотность распределения вероятностей суммы Z=X+Y двух определенных на всей числовой оси независимых случайных величин X и Y, подчиняющихся законам: $$f(x)= \frac{1}{ \pi* cosh(x)}$$

$$f(y)= \frac{1}{ \pi* cosh(y)}$$

x> минус бесконечность, у< бесконечность

Пожалуйста, помогите решить.

задан 8 Апр '13 22:42

изменен 9 Апр '13 9:49

Напишите, пожалуйста, формулу по-человечески. Мне нетрудно изложить решение стандартной теоретико-вероятностной задачи, но совершенно нет сил разгадывать ребусы и криптограммы.

(8 Апр '13 23:06) falcao

@kolyan_23, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(8 Апр '13 23:09) DocentI

а как загрузить картинку? пишет только alt text. формулу не показывает(

(9 Апр '13 9:19) kolyan_23

Не надо картинок! Формулы прекрасно пишутся в строчку, надо только заключить их в знаки $% с каждой стороны. Обозначения - по правилам Тex, они есть по ссылке редактора формул.
А картинка должна быть загружена и иметь название латинскими буквами.

(9 Апр '13 11:08) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Функция распределения суммы $%X+Y$%, то есть вероятность события $%\{X+Y\le a\}$%, имеет вид $$F(a)=\frac1{\pi^2}\iint\limits_{x+y\le a}\frac{dx\,dy}{\cosh x\cosh y}=\frac1{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\cosh x}\int\limits_{-\infty}^{a-x}\frac{dy}{\cosh y}.$$ Неопределённый интеграл от гиперболического косинуса в знаменателе равен $$\int\frac{dy}{\cosh y}=2\int\frac{dy}{e^y+e^{-y}}=2\int\frac{d(e^y)}{e^{2y}+1}=2\arctan e^y.$$ В пределах от минус бесконечности до $%a-x$% это составит $%2\arctan e^{a-x}$%, поэтому $$F(a)=\frac2{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\arctan\,e^{a-x}}{\cosh x}\,dx=\frac4{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\arctan\,e^{a-x}}{e^x+e^{-x}}\,dx.$$ Этот интеграл сложен для вычисления, но нам нужен не он сам, а плотность, то есть производная по $%a$%. Здесь можно дифференцировать под знаком интеграла, так как арктангенс ограничен по модулю на всей числовой прямой, и отсюда следует равномерная и абсолютная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, так как интеграл с гиперболическим косинусом в знаменателе, как мы знаем, сходится. Таким образом, плотность распределения случайной величины $%X+Y$% равна $$p(a)=F'(a)=\frac4{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{a-x}\,dx}{(e^x+e^{-x})(e^{2(a-x)}+1)}.$$ После замены переменной $%z=e^{2x}$% получается $$p(a)=\frac2{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\frac{dz}{(z+1)(z+e^{2a})},$$ и этот интеграл от рациональной функции стандартно вычисляется при помощи разложения на простейшие дроби. Итоговый ответ таков: $$p(a)=\frac4{\pi^2}\cdot\frac{ae^a}{e^{2a}-1}=\frac2{\pi^2}\cdot\frac{a}{\sinh\,a}.$$ Это чётная функция, её графиком будет кривая колоколообразной формы. Неопределённость в нуле разрешается: $%p(0)=2/\pi^2$%.

Примечание. В связи с особенностями редактора формул, ориентированного на англоязычный стандарт, я везде пишу $%\cosh$%, $%\sinh$%, $%\arctan$% вместо принятых у нас $%{\rm ch}$%, $%{\rm sh}$%, $%{\rm arctg}$%.

ссылка

отвечен 9 Апр '13 1:25

ввел формулу, можите проверить правильность решения, так как условие было не очень понятно?

(9 Апр '13 9:50) kolyan_23

@kolyan_23: я в конце концов догадался, какое имелось в виду условие. Решение относится именно к нему. Просто у меня при первом чтении возникли трудности с дешифровкой. Я когда прочитал про "икс иксовое", то возникло некоторое недоумение.

(9 Апр '13 11:56) falcao

=) иксововое тоесть икс и внизу индэкс тоже икс. Р(А) это есть Р(Z)?

(9 Апр '13 13:12) kolyan_23

Я использую обозначение $%p(a)$% для плотности случайной величины $%Z$%. Буква $%Z$% может быть дописана в качестве нижнего индекса, но я стараюсь избегать таких нагромождений. Выражение $%p_Z(a)$% выглядит не очень красиво. Буква $%a$% здесь маленькая, и $%p(a)$% по смыслу не имеет отношения к записям типа $%P(A)$%, что используется для обозначения вероятности события $%A$%.

(9 Апр '13 13:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,001

задан
8 Апр '13 22:42

показан
3577 раз

обновлен
9 Апр '13 13:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru