теория-вероятностей - Найти плотность распределения вероятностей суммы

Функция распределения суммы $%X+Y$%, то есть вероятность события $%\{X+Y\le a\}$%, имеет вид $$F(a)=\frac1{\pi^2}\iint\limits_{x+y\le a}\frac{dx\,dy}{\cosh x\cosh y}=\frac1{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\cosh x}\int\limits_{-\infty}^{a-x}\frac{dy}{\cosh y}.$$ Неопределённый интеграл от гиперболического косинуса в знаменателе равен $$\int\frac{dy}{\cosh y}=2\int\frac{dy}{e^y+e^{-y}}=2\int\frac{d(e^y)}{e^{2y}+1}=2\arctan e^y.$$ В пределах от минус бесконечности до $%a-x$% это составит $%2\arctan e^{a-x}$%, поэтому $$F(a)=\frac2{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\arctan\,e^{a-x}}{\cosh x}\,dx=\frac4{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\arctan\,e^{a-x}}{e^x+e^{-x}}\,dx.$$ Этот интеграл сложен для вычисления, но нам нужен не он сам, а плотность, то есть производная по $%a$%. Здесь можно дифференцировать под знаком интеграла, так как арктангенс ограничен по модулю на всей числовой прямой, и отсюда следует равномерная и абсолютная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, так как интеграл с гиперболическим косинусом в знаменателе, как мы знаем, сходится. Таким образом, плотность распределения случайной величины $%X+Y$% равна $$p(a)=F'(a)=\frac4{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{a-x}\,dx}{(e^x+e^{-x})(e^{2(a-x)}+1)}.$$ После замены переменной $%z=e^{2x}$% получается $$p(a)=\frac2{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\frac{dz}{(z+1)(z+e^{2a})},$$ и этот интеграл от рациональной функции стандартно вычисляется при помощи разложения на простейшие дроби. Итоговый ответ таков: $$p(a)=\frac4{\pi^2}\cdot\frac{ae^a}{e^{2a}-1}=\frac2{\pi^2}\cdot\frac{a}{\sinh\,a}.$$ Это чётная функция, её графиком будет кривая колоколообразной формы. Неопределённость в нуле разрешается: $%p(0)=2/\pi^2$%.

Примечание. В связи с особенностями редактора формул, ориентированного на англоязычный стандарт, я везде пишу $%\cosh$%, $%\sinh$%, $%\arctan$% вместо принятых у нас $%{\rm ch}$%, $%{\rm sh}$%, $%{\rm arctg}$%.