Найти эквивалентную к функции $% f(t) = \int\limits_{t}^{2t} \ln(2+sinx)dx$%, где $%t \to +\infty $%

Я пытался найти какие-то точные оценки, но что-то простого ничего не наблюдается. Буду рад любой помощи.

задан 5 Июн 21:30

изменен 5 Июн 21:32

1

Если $%\int\limits_0^{2\pi} \ln(2+\sin(x)) dx = a$% то эквивалентная функция имеет вид $%\frac{a2t}{2\pi}-\frac{at}{2\pi}=\frac{at}{2\pi}$%

(5 Июн 22:12) abc

А можно доказательство?

(5 Июн 22:13) Williams Wol...

Или намек на его доказательство?

(5 Июн 22:13) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция будет асимптотически линейна на бесконечности. Подынтегральная функция периодична, и интеграл по отрезку длиной в период чему-то равен. Это значение приближённо равно 3.92. Если разделить на длину периода, получится число a=0.6238 (приблизительно). Тогда первообразная функции будет равна at+ф(t), где ф(t) периодична и ограничена. Значит, интеграл от t до 2t будет примерно равен at с точностью плюс-минус константа. Асимптотически это at. Например, при t=100, согласно Вольфраму, значение интеграла из условия примерно равно 62.5775.

ссылка

отвечен 5 Июн 22:28

Меня смущало то, что там могут быть отрицательные значения, но их же нет, поэтому все хорошо. Кстати, если были бы отрицательные, что делать тогда? Т.е. если у нас функция самоуничтожается вплоть до какого-то промежутка.

(6 Июн 2:13) Williams Wol...

если $%a\ne0$% то решение дословно повторяется. В случае отрицательных значений придется доказывать что $%a\ne0$%

(6 Июн 2:53) abc

@Williams Wol...: отрицательные значения особо не мешают. Там всё равно интеграл по отрезку длиной в период чему-то равен. Если он окажется нулевым, то будет периодическая функция.

(6 Июн 8:55) falcao

Я про то, что если интеграл по периоду будет равен 0, теперь то O(1) будет что-то значить и как к нему найти асимптотическое приближение мне не ясно.

(6 Июн 12:18) Williams Wol...

Давайте сначала ответим на более простой вопрос. Существует ли асимптотическое приближение у функции y=0 ?

(6 Июн 16:51) abc

Ну да, но оно будет нулем)

(6 Июн 17:29) Williams Wol...

Проверяем по определению эквивалентной функции $%\lim \frac{0}{0}$% должно равняться 1. Это не выполняется. Таким образом функция y=0 не является эквивалентной функцией к y=0.

Будут еще какие-нибудь кандидаты на эквивалентность к y=0?

(6 Июн 17:42) abc

Тогда нет.

(6 Июн 17:51) Williams Wol...

@Williams Wol...: если интеграл по периоду равен 0, то получится некоторая периодическая функция, которая является собой "неберущийся" интеграл. Ясно, что для такого случая асимптотика может быть только точной, но это получить нереально.

(6 Июн 18:06) falcao

@falcao, спасибо! Буду знать :)

(6 Июн 18:08) Williams Wol...
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,005
×9
×1

задан
5 Июн 21:30

показан
113 раз

обновлен
6 Июн 18:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru