Пусть $%m,n -$% натуральные числа. Доказать, что числа $%2mn+n-m$% и $%2mn+m-n$% не могут одновременно быть квадратами натуральных чисел.

задан 7 Июн '18 19:58

1

Всё свелось к тому, что (x^2-y^2)^2+(x^2+y^2) не должно быть точным квадратом. Но это я пока что не доказал, хотя утверждение похоже на правду.

(8 Июн '18 2:32) falcao

Думаю лучше решить такую систему. $$2mn+(n-m)q=x^2$$ $$2mn-(n-m)q=y^2$$ Записать параметризацию. Потом выяснить когда же $%q=1$%...

(8 Июн '18 9:43) Individ

Может ли помочь тот факт, что числа m и n должны быть одинаковой четности?

(8 Июн '18 14:23) IU9
10|600 символов нужно символов осталось
2

Предположим противное. После перемножения указанных квадратов получим уравнение $%(2mn)^2=(m-n)^2+c^2$%.

Проверим варианты построения пифагоровых троек:

a) $% 2mn=va^2+vb^2,(m-n)=2vab,$% где $%v $%– некоторый коэффициент (приводимости).

С учетом условия задачи сумма записанных чисел дает квадрат и можно принять $%v=2^{2s} k^2,$% где $%k$% нечетно, тогда

$%2mn= 2^{2s} k^2 a^2+2^{2s} k^2 b^2,(m-n)=2^{2s+1} k^2 ab, $%

$%m=n+2^{2s+1} k^2 ab , 2n(n+2^{2s+1} k^2 ab)=2^{2s} k^2 a^2+2^{2s} k^2 b^2 $%.

Не нарушая общности, можно положить $%n=2^i kd$% ($%d$% – нечетно), откуда

$%2^{2i+1} k^2 d^2+2^{2s+i+2} k^3 abd =2^{2s} k^2 a^2+2^{2s} k^2 b^2, $%

$% 2^{2i+1} d^2+2^{2s+i+2} kabd =2^{2s} (a^2+b^2).$%

С учетом нечетности $%a^2+b^2$% и $%d$% отсюда следует $%2i+1=2s$%, что указывает на неразрешимость системы a)

b) $%2mn= va^2+vb^2,(m-n)=va^2-vb^2.$%

Сложив данные уравнения, получим $%2mn+m-n= 2va^2=2^{2s+1} k^2$%, что невозможно, так как это число по условию задачи должно быть квадратом.

Полученное противоречие завершает доказательство.

ссылка

отвечен 9 Апр 16:02

изменен 11 Апр 16:13

@Urt: очень интересное рассуждение. Только в самом начале, когда применяется классификация пифагоровых троек, нужно обосновать их неприводимость. Судя по всему, это делается, но какие-то слова надо будет добавить.

(9 Апр 17:28) falcao

@falcao, представляется, что это весьма существенное замечание. Попробую осмыслить и скорректировать.

(9 Апр 17:50) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
-3

Значит так пишем такую системку....

$$ \left\{\!\begin{aligned} & 2xy-(x-y)q=z^2 \\ & 2xy+(x-y)q=v^2
\end{aligned}\right. $$

А потом чуток покряхтим и поковыряем в носу.... И крикнем - чего тут думать. Решения же очевидны. Чё тиам их писать - они же выглядят так.....

$$x=2k^2+8k(p-s)+10s^2-24ps+16p^2$$

$$y=k^2+4k(p-s)+8s^2-24ps+20p^2$$

$$q=24(2p-s)(2s-2p-k)$$

$$z=2k^2+2k(10p-7s)+16s^2-36ps+16p^2$$

$$v=2k^2-2k(2p+s)-8s^2+36ps-32p^2$$

Ну и после этого, что бы там не случилось. Такого случая когда $%q=\pm1$% быть не может...

Вроде всё... пошли пить пиво!

ссылка

отвечен 8 Июн '18 20:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×772

задан
7 Июн '18 19:58

показан
347 раз

обновлен
11 Апр 16:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru