Найдите три попарно взаимно простых числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье.

Если ограничиться только натуральными и попарно различными числами, то решение всего одно: $$(1, 2, 3)$$ Если же разрешить использовать отрицательные числа, получим, помимо всего прочего, бесконечное семейство решений: $$(-1, 1, k)$$, где $%k$% - любое ненулевое целое.

Если числа не обязаны быть попарно различными, подойдут, к примеру, тройки: $$(1, 1, 1), (1, 1, 2)$$

Как найти абсолютно все решения этой задачи, не упустив ни одного?

задан 8 Июн 1:09

1

Там ещё есть a+b,-a,-b, но этими примерами всё вроде как и ограничивается.

(8 Июн 2:50) falcao

@falcao, большое спасибо!

(8 Июн 9:29) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим полное описание. Пусть все три числа положительны: x<=y<=z. Тогда x+y<=2z, причём равенство возможно только при x=y=z, откуда все числа равны 1. Остаётся случай z=x+y, где 2x делится на y и 2y делится на x. Случай x=y даёт тройку (1,1,2). Если x < y, то 2x/y < 2, и тогда дробь равна 1, и y=2x. Здесь будет тройка (1,2,3).

Свойство тройки не меняется при одновременной смене знака. Поэтому остаётся рассмотреть случай, когда два числа положительны и одно отрицательно. Пусть это числа -x, y, z, где y<=z. Случай x=y ведёт к тому, что z делится на x, то есть возникает тройка (-1,1,k). Допустим, что y > x. Тогда 0 < y-x < y<=z, и делимость невозможна. Таким образом, x > y. Положим x-y=kz, то есть тройка имеет вид -(y+kz),y,z. Случай k>=2 невозможен, так как y+z должно делиться на y+kz. В итоге имеем тройку вида -(y+z),y,z, где y,z взаимно просты. Все такие тройки подходят.

ссылка

отвечен 9 Июн 0:35

@falcao, большое спасибо!

(9 Июн 12:26) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×678
×187
×144
×140
×1

задан
8 Июн 1:09

показан
92 раза

обновлен
9 Июн 12:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru