Одного студента на экзамене попросили дать определение равномерной непрерывности. Точнее, определение функции, равномерно непрерывной на некотором множестве $%M$%. Однако у студента была каша (а может, Маша?) в голове, поэтому вместо $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr)$$ Он написал следующее: $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \varepsilon \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \delta\bigr)$$ Чем отличается его определение от классического? Приведите пример функции, удовлетворяющей классическому определению, но не удовлетворяющей определению этого студента. А наоборот?

задан 8 Июн 10:30

10|600 символов нужно символов осталось
4

Тут пока ничего не было сказано про импликацию в другую сторону. В одну из сторон достаточно было заметить, что любая ограниченная на M функция удовлетворяет второму определению: из |f(x)|<=C следует, что значение delta=2C подходит сразу для всех eps. Поэтому достаточно взять какой угодно пример ограниченной, но разрывной функции: он не удовлетворяет первому определению.

В обратную сторону пример можно построить так. Рассмотрим дискретное множество N. Любая функция на нём равномерно непрерывна. Зададим функцию f так, чтобы f(n+1)-f(n) неограниченно росла -- например, f(n)=n^2. Тогда для eps > 1 никакое delta не подходит.

С другой стороны, если множество M "хорошее" (типа промежутка), то примера уже нет: если f равномерно непрерывна, то она удовлетворяет второму условию. Действительно, выберем такое delta0, что из условия |x1-x2|<=delta0 следует |f(x1)-f(x2)| < 1. Тогда при любом eps можно разбить отрезок длиной eps на конечное число промежутков длиной <=delta0. Пусть таких промежутков будет k, где k некая зависящая от eps константа (типа k=eps/delta0). Тогда разность значений функции на концах отрезка длиной <=eps не превосходит k, что годится на роль delta.

Иными словами, здесь существенно отсутствие в M больших "дыр", в пределах которых нельзя выбрать "близкие" точки из области определения.

ссылка

отвечен 9 Июн 1:05

@falcao, круто! Спасибо большое-пребольшое!

(9 Июн 12:25) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%f(x)=\{x\}$% или функция Дирихле, или сигнум удовлетворяют условия второго определения, но не удовлетворяют классическое.

ссылка

отвечен 8 Июн 11:10

изменен 8 Июн 13:06

@goldish09, большое спасибо!

(8 Июн 11:11) Казвертеночка
1

Второе, неклассическое определение "подходит" больше для ограниченных функций, а не для непрерывных

(8 Июн 11:12) goldish09
1

@goldish09: разве 1/x будет равномерно непрерывна вблизи нуля?

(8 Июн 11:56) falcao

@falcao, Вы пишете: "разве 1/x будет равномерно непрерывна вблизи нуля?" ........... Ой, нет, конечно :(

(8 Июн 12:15) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×762
×9
×4
×3
×2

задан
8 Июн 10:30

показан
140 раз

обновлен
9 Июн 12:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru