Найти количество цифр предпериода и периода десятичной дроби, в которую обращается число

62/(40 * 7^2016)

задан 9 Июн 2:42

То, что 62 и 40 заведомо сокращаются -- это так и было задумано?

(9 Июн 14:31) falcao

Да, так в задании

(9 Июн 17:55) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
1

В несократимой форме дробь имеет вид $%\frac{31}{2^2\cdot5\cdot7^{2016}}$%. Известно, что количество цифр предпериода равно наибольшему показателю степени в знаменателе при 2 или 5; см. здесь. В данном случае это число 2. Длина периода равна наименьшему $%k$%, при котором $%10^k-1$% делится на $%7^{2016}$%. Легко видеть, что делимость $%10^k-1$% на 7 равносильна тому, что $%k$% кратно 6. Записывая $%k$% в виде $%k=6m$%, имеем $%10^k-1=(10^6-1)(10^{6(m-1)}+\cdots+10^6+1)$%. Число $%10^6-1$% делится на $%7$%, но не делится на $%7^2$%. Для делимости произведения на $%7^2$% необходимо и достаточно, чтобы выражение в скобках делилось на 7. В сумме имеется $%m$% слагаемых, и каждое сравнимо с 1 по модулю 7. Значит, $%m$% должно делиться на 7, и тогда $%k$% должно делиться на 42.

Далее по индукции этим же способом можно доказать, что для делимости $%10^k-1$% на $%7^r$% необходимо и достаточно, чтобы $%k$% делилось на $%6\cdot7^{r-1}$%. Поэтому длина периода будет равна $%6\cdot7^{2015}$%.

Тут как бы всё хорошо, но непонятно, для чего рассматривать такие огромные числа. Для упражнения вполне хватило бы, скажем, $%7^{10}$%. Периоды там всё равно длинные, и вручную не посчитаешь в явном виде.

ссылка

отвечен 9 Июн 23:24

Спасибо большое, я решал данную задачу через показатель. Ответ получил такой же

(10 Июн 0:50) cs_puma

@cs_puma: а что значит через показатель?

(10 Июн 1:07) falcao

А почему длина периода будет наименьшему именно такому к?

(10 Июн 2:19) Williams Wol...

@Williams Wol...: это считается известным из теории. По приведённой ссылке можно посмотреть. В принципе, это легко доказать и самостоятельно в обе стороны.

(10 Июн 2:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×59

задан
9 Июн 2:42

показан
120 раз

обновлен
10 Июн 2:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru