помогите, пожалуйста. как разложить функцию f(x)=2x*arctg(x)-ln(1-x^2) в степенной ряд, то есть как разложить я понимаю, но не совсем понятен алгоритм нахождения радиуса его сходимости.

задан 11 Июн 20:17

изменен 11 Июн 20:23

Ряд для арктангенса берётся из учебника, потом он домножается на 2x. Ряд для ln(1+z) -- тоже из учебника, потом в него надо подставить z=-x^2.

Радиусы сходимости обоих рядов известны (они равны 1), и для f(x) получится то же самое. Это же видно из формулы Коши - Адамара.

(11 Июн 20:23) falcao

В учебниках обычно дают 5 основных разложений, среди которых нет арктангенса. Если он и есть, то только в качестве примера. В задачниках он есть обязательно, как упражнение на интегрирования одного из этих 5 разложений.

(13 Июн 13:13) bot

@bot: так или иначе, разложение арктангенса получают в курсах матанализа -- если не сразу вместе с остальными функциями, то потом, после изучения приёмов дифференцирования и интегрирования рядов. Ясно, что тут готовую формулу предполагается использовать, и она хорошо известна.

(13 Июн 13:36) falcao

А как сейчас принято получать разложение для арктангенса? Самый простой путь наверное проинтегрировать 1-x^2+x^4-x^6+... можно сразу отбросить, так-как интегралов еще нет.

(14 Июн 2:33) abc

@abc: я про это и говорил. Но если ряд для arctg x не считается известным, то такую задачу бы не стали предлагать.

(14 Июн 2:54) falcao

@falcao Я сейчас прикинул, вроде не нужны никакие теоремы дифференцирования рядов или интеграл.

Задача состоит в том чтобы найти n-ую производную от 1/(1+x^2) в точке ноль. При этом мы знаем разложение Тейлора 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+... Подставляя в него x=z^2 получаем разложение 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-... Однако мы пока не можем утверждать что из полученного разложения следует что n-ая производная в точке ноль от 1/(1+x^2) равна n! if n odd и 0 if n even. Чтобы это стало возможным нужно воспользоваться теоремой единственности степенного ряда. А эта теорема у нас есть. Так что задача решена

(14 Июн 15:01) abc

@abc: по-моему, такой способ несколько диковат. Зачем так сложно мыслить? Я предпочитаю как можно более прямые и стандартные способы. Кстати говоря, ряды в курсах анализа изучаются уже после интегралов, поэтому с этим изначально не было проблемы.

(14 Июн 16:29) falcao

@falcao Диковато когда пишутся целые монографии (заслуженными преподавателями) для выводя 5 основных разложений без использования Тейлоровского аппарата :)
А я что я только учусь в этом направлении :)

Вот что я подумал. Функция x/(e^x-1) тоже ведь разлагается в степенной ряд с числами Бернулли. Однако в нуле функция не определена и там нельзя делать вывод что её производная в нуле равна числу Бернулли. Как разрешить это противоречие

(14 Июн 16:59) abc

@abc: я не знаю, какие монографии Вы имеете в виду, но в принципе бывает такое, когда теория идёт отдельно, а задачи отдельно. Тогда тот минимум сведений, который необходим для их решения, сообщается сразу, а доказательства даются постепенно по ходу чтения лекций. Это вполне нормальная система. В данном случае нет сомнений в том, что разложение artcg x считается известным.

Для x/(e^x-1), как и для (sin x)/x, в нуле получается устранимая особенность. В ряд раскладывают функцию, для которой отдельно полагают f(x)=1.

(14 Июн 21:05) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×607

задан
11 Июн 20:17

показан
82 раза

обновлен
14 Июн 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru