Бросают монету. Вероятность выпадения решки p, а орла 1-p. Нужно посчитать матожидание выпадения одной стороны монеты 2 раза подряд. Я думал как: для произвольного n > 2 нужно, чтобы чередовались, а последние совпали. Помогите, если не трудно, посчитать сумму ряда, что-то не понятно как это делать. Или можно проще решить эту задачу?

задан 12 Июн 23:40

Небольшой оффтоп: Ваш ник, случайно, не связан с португальским языком? :)

(13 Июн 3:25) falcao
1

Честно говоря, нет) Это слово на башкирском -- апельсин))

(13 Июн 15:29) Афлисун

@Афлисун: очень интересно, будем знать!

(13 Июн 17:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я понял задачу так: монету бросают до тех пор, пока не выпадет ОО или РР. Требуется найти среднее число таких бросаний.

Для каждого n>=2 (случай n=2 сюда тоже входит) нужно найти вероятность того, что бросания будут иметь вид ...ОО или ...РР, где в начале происходит чередование. Пусть n=2k чётно. Тогда в первом случае мы имеем ОР...ОРОО, где ОР повторено k-1 раз, а во втором РО...РОРР. Вероятность здесь равна (pq)^{k-1}(q^2+p^2), где q=1-p. Можно сразу просуммировать по k>=1, домножая вероятности на 2k. Отделяя множитель 2(p^2+q^2), далее имеем ряд 1+2x+3x^2+..., где x=pq. Ясно, что это производная ряда x+x^2+x^3+...=1/(1-x)-1; она равна 1/(1-x)^2. Таким образом, для чётных k имеем 2(p^2+q^2)/(1-pq)^2.

Теперь пусть n=2k+1 нечётно. Здесь будет РО...РОО или ОР...ОРР. Слоги РО, ОР повторены k раз. Вероятность равна (pq)^k(q+p)=(pq)^k. Домножаем на 2k+1 и суммируем по k>=1. Имеем 3x+5x^2+7x^3+...; это сумма (x+x^2+x^3+...)+2x(1+2x+3x^2+...)=x/(1-x)+2x/(1-x)^2=(3x-x^2)/(1-x)^2. Подставляя x=pq и суммируя с предыдущим, после несложных преобразований имеем (2-p)(1+p)/(1-p+p^2).

Можно заметить, что максимум этой величины равен 3, и он достигается для случая "честной" монетки. В остальных случаях матожидание меньше; при p=0 и p=1 оно равно 2 (где уже на первых двух шагах одинаковые значения наверняка выпадают).

ссылка

отвечен 13 Июн 0:09

красивое решение, спасибо

(13 Июн 2:35) Афлисун
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,065

задан
12 Июн 23:40

показан
69 раз

обновлен
13 Июн 17:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru