Правило интегрирования по частям помогает находить целые классы первообразных. Например $%\int x^n\mathrm{e}^x dx$% Здесь $%n\ge-1$% нельзя продолжить вниз ибо интеграл перестает находиться в элементарных. Но можно продолжать вверх, поэтому получаем бесконечное "полусемейство" первообразных. Придумайте пример интеграла, который бы брался по частям но "лишь один раз". То есть он бы не приводил к образованию полусемейств первообразных.

Гиперсемейство первообразных определяется следующим образом.

Возьмем любые две элементарные функции u(x),v(x).

Если интеграл $%\int u(x)v(x) dx$% берется то он является нулевым членом гиперсемейства.

Если интеграл $%\int u'(x)v(x) dx$% берется то он является первым членом гиперсемейства вместе с интегралом $%\int u(x)v'(x) dx$%. (два этих интеграла это семейство)

Если интеграл $%\int u''(x)v(x) dx$% берется то он является вторым членом семейства вмесете с интегрлом $%\int u'(x)v'(x) dx$% и $%\int u(x)v''(x) dx$%. (три этих интеграла это семейство)

Если интеграл $%\int U(x)v(x) dx$% берется то он является минус первым членом гиперсемейства. Где U(x) одна из первообразных u(x), причем U(x) элементарна.

Таким образом получается следующая простая задачка. Приведите пример интеграла такого что: $%\int u(x)v(x)dx $% берется а $%\int u'(x)v(x)dx $% и $%\int U(x)v(x)dx $% не берутся где U(x) какая-нибудь первообразная u(x) и является элементарной.

Хотя сейчас я понимаю, что естественно определить семейство первообразных по-другому. Как множество интегралов вида $%\int u''(x)v(x) dx$% $%\int u'(x)v'(x) dx$% $%\int u(x)v''(x) dx$% и тому подобное. Но тогда исходная задача теряет смысл ибо если один из этих интегралов берется то берутся и все остальные образуя целый класс функций которые берутся.

задан 13 Июн 3:45

изменен 13 Июн 15:51

  1. На аргумент функции всегда можно навесить натуральный множитель или аддитивное натуральное слагаемое, и это не будет препятствием для взятия интеграла от такой функции, если он брался в квадратурах без множителя или слагаемого, так что нужно точнее описать понятие "семейства".
(13 Июн 8:29) Амфибрахий
1
  1. Интересно, как предполагается доказывать теорему не "неберущести" по частям интеграла от семейства? Обычно такие теоремы -"штучный товар" и доказываются с помощью инструментов дифференциальной алгебры, алгебраической геометрии и т.п. мудреных наук (см., например, монографии по методам символьного интегрирования). Так что задачка не кажется мне сколько-нибудь разумно поставленной.
(13 Июн 8:29) Амфибрахий

Да задачка не получилась, но с вопросом разобрался.

(13 Июн 15:45) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,050

задан
13 Июн 3:45

показан
131 раз

обновлен
13 Июн 15:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru