Решите уравнение: $$m^3+2^{2^p}=n^3$$ ($%m, n$% - целые, $%p$% - простое.)

задан 13 Июн 20:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вместо показателя 2^p можно рассмотреть произвольное k>=0. Если одно из чисел m, n равно нулю, то решения описываются тривиальным образом: при этом k должно делиться на 3, то есть условие задачи это исключает.

Допустим, что оба числа отличны от нуля. Они имеют одинаковую чётность. Можно тогда оба числа сократить на 2, оставив прежним вид уравнения. Тогда мы за несколько шагов добьёмся того, чтобы m, n стали оба нечётными. Окажется, что 2^k=(n-m)(n^2+nm+m^2). Второй сомножитель нечётен, поэтому он равен 1 или -1. Второй вариант невозможен, так как это число неотрицательно. Из условия n^2+mn+m^2=1 следует (2n+m)^2+3m^2=4, и тогда или m=1, что влечёт n=0, или m=-1, и тогда n=1. То есть 2^k=2 равно разности кубов 1^3-(-1)^3. Если двойка сокращалась s раз, то показатель степени был равен 2^p=3s+1. Из соображений остатка от деления на 3, число p должно быть чётным, то есть p=2, n=2, m=-2.

ссылка

отвечен 13 Июн 23:19

@falcao, большое спасибо!

(14 Июн 10:12) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×617
×134
×68

задан
13 Июн 20:47

показан
40 раз

обновлен
14 Июн 10:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru