а) Можно ли расставить по кругу 7 попарно различных вещественных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных — 2, ..., каких-то трёх подряд расположенных — 7?

б) Можно ли расставить по кругу 8 попарно различных вещественных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных — 2, ..., каких-то трёх подряд расположенных — 8?

задан 16 Июн 16:35

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Расположим по кругу числа от 1 до 7 по следующему принципу: напишем 1, и далее каждое следующее число пишем на очередное место, пропуская два следующих. Получится расстановка 1, 6, 4, 2, 7, 5, 3. Для каждого числа укажем сумму его и двух его соседей. Это даст 10, 11, 12, 13, 14, 15, 9. Это последовательные числа от 9 до 15. Чтобы суммы принимали значения от 1 до 7, нужно из каждого изначального числа вычесть 8/3. Таким образом, подойдёт расстановка -5/3, 10/3, 4/3, -2/3, 13/3, 7/3, 1/3.

Заметим, что перестановку сумм от 1 до 7 можно загадать какую угодно. При этом система линейных уравнений вида x(1)+x(2)+x(3)=s(1), x(2)+x(3)+x(4)=s(2), ... , x(7)+x(1)+x(2)=s(7) будет иметь единственное решение независимо от значений свободных членов.

б) Здесь ситуация аналогична, и пример возможен даже с целыми числами: 0, 3, -2, 1, 4, -1, 2, 5.

ссылка

отвечен 16 Июн 17:22

2

P.S. Интересно, что в пункте а) есть пример и с неотрицательными числами. А именно, 1/3, 1/3, 1/3, 4/3, 10/3, 4/3, 7/3. Также есть пример и для пункта б): 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 5. А вот для строго положительных уже не получится.

(16 Июн 18:24) falcao

@falcao, большое спасибо! В Вашем примере для строго положительных получились не попарно различные числа, но Ваш пример мне всё равно нравится. А почему не получится строго положительных для 8?

(17 Июн 2:16) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: про попарно различные я не заметил. Но это ограничение не очень естественно, так как одинаковые числа не дают какого-то совсем простого способа построения.

Для 8 чисел можно в общем виде решить систему относительно "иксов". Потом записать условия положительности. Они дадут неравенства типа s(i)+s(i+3)+s(i+6) > 12. Тогда ввиду целочисленности, получается >=13. Если расположить числа (суммы) в порядке i,i+3,i+6,i+2,... , то получится, что сумма трёх подряд не меньше 13, а это невозможно. Там есть 1, по обе стороны от неё >=12, и остаётся одна тройка. Вместе оказывается > 36.

(17 Июн 2:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×720
×7
×4
×1
×1

задан
16 Июн 16:35

показан
73 раза

обновлен
17 Июн 2:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru