|
Пусть λ – наименьшее, а µ – наибольшее собственное значение эрмитовой матрицы $%A = (a_{ij} )$%. Докажите, что все ее диагональные элементы $%a_{ii}$% удовлетворяют неравенству $%λ=<a_{ii}=<µ$%. задан 18 Июн '18 2:10 
YELLOW |
|
Пусть $%\lambda_1 \le \ldots \le \lambda_n$%... Любой вектор можно представить в виде $$ x=\alpha_1s_1+\ldots+\alpha_ns_n, $$ где $%s_k$% - отронормированный базис из собственных векторов. $$ \max_{\|x\|=1}(Ax,x) = \max_{|\alpha_1|^2+\ldots+|\alpha_n|^2=1} \Big(\lambda_1|\alpha_1|^2+\ldots+\lambda_n|\alpha_n|^2\Big) = \max_{k} \lambda_k = \lambda_n $$ $$ \min_{\|x\|=1}(Ax,x) = \min_{|\alpha_1|^2+\ldots+|\alpha_n|^2=1} \Big(\lambda_1|\alpha_1|^2+\ldots+\lambda_n|\alpha_n|^2\Big) = \min_{k} \lambda_k = \lambda_1 $$ С другой стороны, если $%e_i$% - строка единичной матрицы, то $$ (Ae_i,e_i) = a_{ii}, $$ откуда $%\lambda_1 \le a_{ii} \le \lambda_n$% Вроде так... отвечен 19 Июн '18 16:58 
all_exist @all_exist, cпасибо большое
(19 Июн '18 18:52)
YELLOW
|
Ни у кого нет идей?